Некоторые свойства евклидова пространства

С позиции теории множеств любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Говоря иначе, всякая геометрическая фигура есть не пустое множество.

Отображение геометрической фигуры на плоскость (или какую-либо другую поверхность) можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость (поверхность).

Прежде чем говорить о сущности метода проецирования, целесообразно рассмотреть некоторые свойства евклидова пространства*.

Известно, что эти свойства могут быть выражены при помощи системы аксиом и предложений, которые устанавливают зависимости и отношения между элементами пространства. Точки, прямые и плоскости евклидова пространства находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принадлежность или инцидентность. Термин инцидентность заменяет такие понятия, как "лежать на", "проходить через". Вместо выражений "точка А лежит на плоскости α", "прямая a проходит через точку В" можно употреблять выражения "точка А инцидентна (принадлежит) плоскости а", "точка В инцидентна (принадлежит) прямой а". В символической форме эти выражения можно записать А∈α; В∈а.

Отношения принадлежности между элементами евклидова пространства могут быть выражены следующими предложениями:

1. Если точка А принадлежит прямой а, а прямая а принадлежит плоскости α, то точка А принадлежит плоскости α:

А∈а⊂α⇒A∈α.

2. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой а или каждой прямой а принадлежат, по крайней мере, две точки А и В:

2. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой а или каждой прямой а принадлежат, по крайней мере, две точки А и В:

(∀A,В)(А≠В)⇒(∃1а)(а∋А,В).

3. Три различные точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной и той же и только одной плоскости:

(∀A,В,С)(А≠В≠С)∧(А,В,С∉а)⇒(∃1α)(а∋А,В,С).

Если две точки А и В, принадлежащие прямой а, принадлежат плоскости α, то прямая а принадлежит плоскости α:

(∀A,В)(А≠В)(А,В∈а)∧(А,В∈α)⇒(а⊂α).

* Основные свойства трехмерного пространства, в котором мы живем, были изучены до нашей эры греческими геометрами.

Наиболее существенный вклад имели труды по геометрии трехмерного пространства великого геометра древности Евклида, изложенные им в "Началах" (III в. до нашей эры). По имени автора "Начал" геометрическому пространству, изучаемому в элементарной геометрии, присвоено название евклидова пространства.

Кроме приведенных выше, могут быть сформулированы и другие предложения принадлежности для элементов евклидова пространства. К таким предложениям, в частности, относятся:

5. Две прямые, принадлежащие одной плоскости, могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.

6. Две плоскости могут принадлежать одной и той же прямой, но этого может и не быть.

7. Плоскость и не принадлежащая ей прямая могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.

Последние три предложения по существу перефразируют аксиому о параллельности. В самом деле, предложение 5 утверждает, что в евклидовой плоскости две прямые либо пересекаются (принадлежат одной точке). либо не имеют общей точки в этом случае они называются параллельными. Аналогично, предложение 6 говорит о том, что в евклидовом пространстве две плоскости либо пересекаются (принадлежат одной прямой) . либо они параллельны, а предложение 7 - о том, что прямая, не принадлежащая плоскости, либо пересекает ее (прямая и плоскость принадлежат одной точке) , либо они параллельны.