Метод проекций

С позиции теории множеств любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Говоря иначе, всякая геометрическая фигура есть не пустое множество. Отображение геометрической фигуры на плоскость (или какую-либо другую поверхность) можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость (поверхность).

Прежде чем говорить о сущности метода проецирования, целесообразно рассмотреть некоторые свойства евклидова пространства*

Известно, что эти свойства могут быть выражены при помощи систе¬мы аксиом и предложений, которые устанавливают зависимости и отно¬шения между элементами пространства. Точки, прямые и плоскости евклидова пространства находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принадлежность или инцидентность. Термин инцидентность заменяет такие понятия, как "лежать на", "проходить через". Вместо выражений "точка А лежит на плоскости α", "прямая а проходит через точку В" можно употреблять выражения "точка А инцидентна (принадлежит) плоскости α", "точка В инцидентна (принадлежит) прямой а". В символической форме эти выражения можно записать А ∈ α; В ∈ а.

Отношения принадлежности между элементами евклидова пространства могут быть выражены следующими предложениями:

1. Если точка А принадлежит прямой а, а прямая а принадлежит плоскости α, то точка А принадлежит плоскости α:
   А ∈ а ⊂ α ⇒ А ∈ α.
2. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой а или каждой прямой а принадлежат, по крайней мере, две точки А и В:
   (∀A, В)(А ≠ В) ⇒ (∃1а)(а ∋ А, В).
3. Три различные точки А, В к С, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной и той же и только одной плоскости:
   (∀A, В, С) (А ≠ В ≠ С) Λ (А, В, С ∉ а) ⇒ (∃1α) (α ∋ А, В, С).
4. Если две точки А и В, принадлежащие прямой а, принадлежат плоскости α, то прямая а принадлежит плоскости α:
   (∀A, В) (А ≠ В) (A, B ∈ а) Λ (A, B ∈ α) ⇒ (а ⊂ α).

Кроме приведенных выше, могут быть сформулированы и другие предложения принадлежности для элементов евклидова пространства.
К таким предложениям, в частности, относятся:

5. Две прямые, принадлежащие одной плоскости, могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.
6. Две плоскости могут принадлежать одной и той же прямой, но этого может и не быть.
7. Плоскость и не принадлежащая ей прямая могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.

Последние три предложения по существу перефразируют аксиому о параллельности. В самом деле, предложение 5 утверждает, что в евклидовой плоскости две прямые либо пересекаются (принадлежат одной точке), либо не имеют общей точки в этом случае они называются параллельными. Аналогично, предложение 6 говорит о том, что в евклидовом пространстве две плоскости либо пересекаются (принадлежат одной прямой). либо они параллельны, а предложение 7 — о том, что прямая, не принадлежащая плоскости, либо пересекает ее (прямая и плоскость принадлежат одной точке), либо они параллельны.

Основные свойства трехмерного пространства, в котором мы живем, были изучены до нашей эры греческими геометрами.
Наиболее существенный вклад имели труды по геометрии трехмерного пространства великого геометра древности Евклида, изложенные им в "Началах" (III в. до нашей эры). По имени автора "Начал" геометрическому пространству, изучаемому в элементарной геометрии, присвоено название евклидова пространства.

• Некоторые свойства евклидова пространства

  С позиции теории множеств любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Говоря иначе, всякая геометрическая фигура есть не пустое множество.Подробнее

• Реконструкция евклидова пространства

  Принятие аксиомы Евклида о параллельности при последующем изложении приводит к определенным трудностям, вызванным тем, что, рассматривая метод проекций, составляющий основу для изображения на плоскости геометрических фигур, расположенных в пространстве, мы обнаруживаем "неоднородность" евклидова пространства и погруженных в него геометрических фигур.Подробнее

• Центральное проецирование

  Сущность центрального проецирования заключается в следующем: пусть даны плоскость π1 и точка S (S∉π1 рис. 5). Возьмем произвольную точку А (А ∉π1, A≠S). Через заданную точку S и точку А проводим прямую (SA) и отмечаем точку А', в которой эта прямая пересекает плоскость π1. Подробнее

• Параллельное проецирование

  Рассмотрим частный случай центрального проецирования, когда центр проекции помещен в несобственной точке S*∞. В этом случае проекцией точки А на плоскость π1 будет точка А', в которой проецирующая прямая (S∞А) пересекает плоскость проекции π1 (рис. 7).Подробнее

• Ортогональное проецирование

  Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования s перпендикулярно плоскости проекции, называется прямоугольным или ортогональным (от слова orthogonios - прямоугольный) проецированием.Подробнее

• Инвариантные свойства ортогонального проецирования

  Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекции в общем случае с искажением. При этом характер искажений зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекции.Подробнее

• Эпюр Монжа

  В машиностроении для того чтобы иметь возможность по чертежу судить о форме и размерах изображаемых предметов (деталей, узлов, машин, агрегатов), при составлении чертежей, как правило, пользуются не двумя, а несколькими плоскостями проекций.Подробнее

• Неопределяемые понятия геометрии; ортогональные проекции точки, прямой, плоскости

  К основным - неопределяемым - понятиям геометрии относятся: точка, прямая, плоскость, расстояние и множество; они не могут быть определены с помощью других, более простых (элементарных) понятий.Подробнее