Аксонометрические проекции

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым наряду с изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь изображения более наглядные. Для построения таких изображений применяют проекции, называемые аксонометрическими или, сокращенно, аксонометрией. Название «аксонометрия» образовано из слов древнегреческого языка: аксон — ось и метрео — измеряю.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система точек отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость ¹). Следовательно, аксонометрическая проекция есть, прежде всего, проекция только на одной плоскости, а не на двух или более, как это имеет место в системе ортогональных проекций. При этом необходимо обеспечить наглядность изображений и возможность производить определения положений и размеров, как это изложено дальше.

На рис. 449 показана схема проецирования точки А на некоторую пл. α, принятую за плоскость аксонометрических проекций (называемую также картинной плоскостью). Направление проецирования указано стрелкой ²).

Прямые Ox, Оу, Oz изображают оси координат в пространстве, прямые О_αх, О_αУ, O_αz — их проекции на пл. _α, называемые аксонометрическими осями (или осями аксонометрических координат).

¹) Аксонометрия может быть также центральной; здесь рассматривается параллельная аксонометрия.

²) Направление проецирования может составлять с плоскостью аксонометрических проекций некоторый острый или прямой угол. Для обеспечения наглядности изображений направление проецирования не следует брать параллельным ни одной из координатных плоскостей.

На осях х, у, z отложен некоторый отрезок длиной l, принимаемый за единицу измерения по этим осям (натуральная единица). Отрезки l_x, l_y, l_z, на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка l; они вообще не равны l и не равны между собой. Отрезки l_x, l_y, l_z являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами ¹).

Отношения l_xl, l_yl, l_zl называются коэффициентами искажения (или показателями искажения) по аксонометрическим осям.

Коэффициент искажения по оси О_αх обозначим k, по оси О_αу обозначим m, по оси Oαz обозначим n.

Трехзвенная пространственная линия ОА_хА'А спроецировалась в плоскую ломаную линию О_αА_хαА'_αА_α (рис. 449). Точка А_α — аксонометрическая проекция точки А; точка А'_α представляет собой аксонометрическую проекцию точки А', которая является одной из ортогональных проекций точки А, а именно на пл. π₁ (хОу). Точку А'_α называют вторичной проекцией точки А ²). Можно построить еще две вторичные проекции точки А, соответствующие двум другим ее ортогональным проекциям — на плоскостях π₂- (xOz) и π₃ (yOz).

Отношения между аксонометрическими проекциями отрезков прямых линий, параллельных прямоугольным осям координат, и самими отрезками выражаются коэффициентами k, m, n.

Так как (см. рис. 449) А'А_Х||Оу и А'А||Oz, то при параллельном проецирований А'_αА_хα||О_αу и А'_αА_α||O_αz. Отношение параллельных отрезков при параллельном проецировании сохраняется; следовательно, А'_αА_xα: l_y = А'А_Х:l или А'_αА_хα: А'А_x =l_y:l = m, где m — коэффициент искажения по оси О_αу. Аналогичные заключения можно сделать и относительно отрезков,, расположенных параллельно осям х и z: отношения проекций таких отрезков к самим отрезкам равны (соответственно) коэффициентам искажения k и n.

Так, между аксонометрической проекцией А_αВ_α отрезка АВ, параллельного оси х (рис. 450), и самим отрезком отношение равно А_αВ_α: АВ = k.

Каждый из отрезков линии ОА_хА'А (рис. 449) определяет одну из прямоугольных координат точки А; проекции этих отрезков — отрезки плоской ломаной линии О_αА_хαА'_αА_α — определяют соответственно аксонометрические координаты той же точки А. Очевидно, при помощи коэффициентов искажения можно перейти от прямоугольных координат к аксонометрическим, и наоборот: х_α= kx, у_α = mу, z_α = nz, где буквами х_α, y_α, z_a обозначены отрезки, определяющие аксонометрические координаты точки, а буквами х, у, z — отрезки, определяющие ее прямоугольные координаты.

На рис. 451 дан пример построения аксонометрической проекции точки по ее ортогональным проекциям.

Точка А_α построена по координатным отрезкам, взятым с чертежа: х = ОА_х, у = А_xА', z = А_xА". Учитывая коэффициенты искажения k, m и n, откладываем по оси 0_αх отрезок O_αА_Хα = k·ОА_х, затем параллельно оси О_αу отрезок А_xαА'_α= m·А_xА' и, наконец, параллельно оси O_αz отрезок А'_αА_α = n·А_xА".

¹) Применяются также названия «аксонометрические масштабы» и соответственно «натуральный масштаб».

²) Термин, примененный В. И. Курдюмовым в его труде «Курс начертательной геометрии».

Плоскость β (рис. 452) изображена следами и в аксонометрической проекции. Для построения следов взяты точки их пересечения с осями по отрезкам на осях (например, точка Х_βα построена по отрезку ОХ_β:O_αX_βα = k·ОХ_β).

Точка А, лежащая в пл. β, построена в аксонометрической проекции по ее координатам; горизонталь N_αA_α должна быть параллельна своей вторичной проекции и следу на плоскости хО_αу. Точку А_α можно било построить и как точку пересечения двух каких-либо прямых в пл. β, построив аксонометрические проекции этих прямых.

На том же рис. 452 изображена в аксонометрической проекции фронтально-проецирующая плоскость и принадлежащая ей точка В_α. Как определить прямоугольные координаты этой точки? Построение показано на рис. 452 справа: в аксонометрической проекции проведена горизонталь N_αB_α и построена ее вторичная проекция, на которой получена вторичная проекция В'_β Искомые координаты точки В:

где k, m, n — коэффициенты искажения.

При построении аксонометрических проекций обычно пользуются не самими коэффициентами искажения, а некоторыми величинами, им пропорциональными. Эти величины будем называть приведёнными ¹) коэффициентами искажения.

Задаваясь приведенными коэффициентами, можно взять наибольший из них равным единице, что упрощает построения.

Если на пл. α взять произвольно четыре точки О_α, А_α, В_α и С_α, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и соединить их попарно прямыми, то получится фигура, называемая полным четырехугольником (O_αA_αB_αC_α); это четырехугольник с его диагоналями (рис. 453, а). Если, далее, через эти точки провести параллельные между собой прямые и взять на каждой из них по произвольной точке О, А, В и С так, чтобы все они не лежали в одной плоскости, то в пространстве образуется вообще некоторый тетраэдр ОABC ²). Очевидно, тетраэдров в пространстве, параллельной проекцией которых может служить полный четырехугольник O_αA_αB_αC_α, может быть бесконечное множество. В их числе содержится и тетраэдр с прямым трехгранным углом при точке О и с равными ребрами OA, OB, ОС; такой тетраэдр может рассматриваться как масштабный ³), т. е. три равных и взаимно перпендикулярных ребра этого тетраэдра служат масштабами осей координат в пространстве (рис. 453, в). Это составляет содержание основного предложения аксонометрии (или «основной теоремы аксонометрии»), приводимого в следующей формулировке: любой полный четырехугольник на плоскости всегда является параллельной проекцией некоторого масштабного тетраэдра. Поэтому любые три прямые, проходящие через одну точку на плоскости и не совпадающие между собой, могут быть приняты за аксонометрические оси, т. е. за проекции осей прямоугольных координат, и любые три отрезка, отложенные на этих прямых от точки их пересечения, могут быть взяты в соответствии с выбранным соотношением приведенных коэффициентов искажения в качестве аксонометрических единиц⁴).

¹) Название «приведенный» по отношению к коэффициентам (показателям) искажения применено Н. Ф. Четверухиным и Е. А. Глазуновым в их труде «Аксонометрия» (М.: Гостехиздат, 1953).

²) Тетраэдр — в данном случае треугольная пирамида произвольной формы.

³) Термин «масштабный тетраэдр» применен Н. Ф. Четверухиным.

⁴) «Основное предложение аксонометрии» было сформулировано К. Польке (в 1851 г.) в виде следующей теоремы: любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве. В шестидесятых годах прошлого столетия Г. Шварц обобщил теорему Польке, доказав, что любой полный четырехугольник на плоскости всегда можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра, подобного любому заданному. Интересующихся доказательством отсылаем к книге Е. А. Глазунова и Н. Ф. Четверухина, указанной в сноске ¹), или к книге Н. А. Глаголева «Начертательная геометрия» (М.: Гостехиздат, 1953).

Если все три коэффициента искажения равны между собой (k = m = m), то аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой только два коэффициента искажения (например, k = n, но m не равна k, или k = m, но n не равно k), то проекция называется диметрической; наконец, если k≠m, k≠n, m≠n , то проекция называется триметрической ¹).

Если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости α, то аксонометрическая проекция носит название косоугольной. В противном случае аксонометрическая проекция называется прямоугольной.

Для сравнения представим себе сферу в прямоугольной и косоугольной аксонометрических проекциях. В первом случае образующие цилиндрической проецирующей поверхности, обертывающей шар, перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций; а так как проецирующий цилиндр является цилиндром вращения, то прямоугольная аксонометрическая проекция сферы есть окружность.

В случае же косоугольной проекции в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью аксонометрических проекций получается эллипс; в косоугольной аксонометрической проекции изображение сферы теряет в своей наглядности.

В практике построения наглядных изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и коэффициентов искажения (или приведенных коэффициентов искажения).

• Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения и углы между осями

  1. Возьмем плоскость аксонометрических проекций таким образом, чтобы она пересекала все три координатные оси (рис. 454, слева) в точках X, Y, Z.Подробнее

• Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности

  1. Начнем с общей задачи — построить прямоугольную аксонометрическую проекцию окружности, расположенной в некоторой плоскости общего положения β.Подробнее

• Примеры построений в изометрической и диметрической проекциях

  Ниже приведены некоторые примеры построений в прямоугольных изометрической и диметрической проекциях.Подробнее

• Некоторые косоугольные аксонометрические проекции

  Из числа косоугольных аксонометрических проекций остановимся прежде всего на часто применяемой проекции, получаемой на плоскости, параллельной пл. π2.Подробнее

• О родственном соответствии и его применении к решению некоторых задач

  Рассмотрим родственное соответствие фигур, расположенных в двух пересекающихся плоскостях или в одной плоскости, в системе параллельного проецирования.Подробнее

• Стандартные аксонометрические проекции

  В инженерной практике, в частности в машиностроении, наибольшее распространение получили прямоугольные диметрические и изометрические проекции. Отметим некоторые свойства этих проекций.Подробнее

• Примеры построения аксонометрических проекций геометрических фигур

  При построении аксонометрических проекций пользоваться коэффициентами искажения неудобно.Подробнее

• Решение позиционных задач на аксонометрических проекциях

  Решение позиционных задач на аксонометрическом чертеже не отличается от решения этих задач в ортогональных проекциях на эпюре Монжа.Подробнее

• Решение метрических задач на аксонометрических проекциях

  Между ортогональными и аксонометрическими проекциями существует зависимость, которая позволяет по ортогональным проекциям геометрической фигуры и заданному направлению аксонометрического проецирования построить треугольник следов и, наоборот, по заданной проекции треугольника следов определить направление аксоно-метрического проецирования.Подробнее