Развертывание кривых поверхностей

ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. Если при этом отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру - ее разверткой. Поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, относятся к неразвертываемым поверхностям.

К группе развертывающихся поверхностей относятся только линейчатые поверхности и, в частности, те из них, которые имеют пересекающиеся смежные образующие. Точка пересечения может быть как собственной (поверхности с ребром возврата и конические), так и несобственной (цилиндрические поверхности).

Деформацию поверхности α для получения ее развертки можно представить как постепенное ее разгибание (совмещение с плоскостью β, касательной к этой поверхности). На рис. 290 задана коническая поверхность α и показана касательная к ней плоскость β. Образующая g - линия касания.

Отметим на направляющей конической поверхности d точку 2; проведем через нее образующую конической поверхности (S2). Если расстояние между точками 1 и 2 мало, то отсек конической поверхности, заключенной между образующими S1 и S2, можно с определенной степенью точности отождествлять с Δ1S2. Если теперь мы повернем Δ1S2 вокруг стороны 1S до его совмещения с плокостью β, то получим Δ1₀S2₀, представляющий развертку отсека 1S2 поверхности α на плоскость β.

При перемещении точки 2 в положение 2₀ направляющая конической поверхности d переместится в положение d₁, а точка 3 ∈ d займет положение 3₁ ∈ d₁. Соединив точку 3₁ с вершиной S, получим отсек конической поверхности 2₀S3₁ ≅ 2S3, который, как и в предыдущем случае, можно с определенной степенью точности рассматривать как Δ2₀S3₁ . Вращая этот треугольник вокруг стороны S2₀ до совмещения с плоскостью β, получим Δ2₀S3₀ - развертку отсека 2S3 поверхности α на плоскость β.

Отметив на направляющей d точки 4, 5, ..., N, принимая их за вершины треугольников 3S4, 4S5, ..., (N - 1)SN и осуществляя их последовательный поворот вокруг предварительно совмещенной стороны этих треугольников, можно получить приближенную развертку поверхности α на плоскость β.

Для выполнения показанных на рис. 290 построений необходимо, чтобы плоскость, касательная к поверхности, касалась ее по прямой

образующей, которую принимаем за первоначальное положение оси вращения.

Если касательная плоскость касается поверхности в точках, принадлежащих линии, то такие точки называют параболическими (см. гл. V, § 46). При этом у торсовых поверхностей (конических, цилиндрических, с ребром возврата) линии, образованные параболическими точками, - прямые, которые можно принять за оси вращения (см. рис. 290). Поэтому ранее отмеченный признак для развертывающихся поверхностей может быть заменен следующим: к развертывающимся поверхностям относятся поверхности, имеющие только параболические точки *.

Построение разверток имеет большое практическое значение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из плоского (листового) материала путем его изгибания.

• Развертывание цилиндрических и конических поверхностей

  Развертывание боковой поверхности прямого кругового цилиндра, известное из стереометрии, было показано на рис. 305. У получаемого при этом прямоугольника основание равно развернутой окружности (πd), а высота равна высоте цилиндра. На рис. 362 изображена развертка поверхности прямого кругового цилиндра с плоским срезом по эллипсу. Подробнее

• Условное развертывание сферической поверхности

  Сферическая поверхность не является развертываемой (см. § 49, п. 5). Здесь можно говорить только об условном развертывании. На рис. 442 показан один из приемов построения.Подробнее

• Примеры построения разверток некоторых форм

  1. Изображенная на рис. 443 поверхность представляет собой сочетание поверхностей призмы и наклонного цилиндра, имеющего круговое основание.Подробнее

• Основные свойства развертки поверхностей

  С позиции теории множеств поверхность и ее развертку следует рассматривать как два точечных множества.Подробнее

• Развертка поверхности многогранников

  Развертка поверхности многогранников известна читателю из средней школы. Поэтому на этом вопросе мы останавливаемся кратко, только в плане повторения известных ранее сведений.Подробнее

• Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей

  Мы уже указывали, что к развертывающимся поверхностям относятся только торсы (поверхности с ребром возврата, коническая и цилиндрическая поверхности).Подробнее

• Условная развертка поверхностей

  В двух предыдущих параграфах было показано построение разверток гранных и торсовых поверхностей.Подробнее