Позиционные задачи

Понятия и определения

Круг задач, ответы на которые могут быть получены графическим путем, чрезвычайно широк. При пом независимо от степени сложности их решения и характера вопросов, требующих ответа, нее они могут быть отнесены всего лишь к одному из двух классов: 1-й класс - задачи позиционные; 2-й класс - задачи метрические.

Следует иметь в виду, что деление задач на позиционные и метрические является условным. Гели из всего многообразия задач позиционную группу можно выделить, то чисто метрические задачи встречаются очень редко; как правило, при решении метрических задач предварительно приходится выяснять позиционные отношения между геометрическими фигурами, входящими в условия задачи или построенными в процессе решения, г. е. решать позиционную задачу.

Несмотря на зго, распределение задач по отмеченным классам в методическом отношении имеет большой смысл, так как позволяет установить единые (обобщенные) алгоритмы, пригодные для решения широкого круга задач, входящих в один класс, и, как следствие, обеспечить простой и надежный поиск частного алгоритма для решения поставленной задачи.

В этой главе будут рассмотрены различные виды позиционных задач и указаны алгоритмы их решения. Под позиционными подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности). К позиционным относятся также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам.

Первая группа задач может быть объединена под общим названием задачи на принадлежность (инцидентность). К ним, в частности, относятся задачи на определение:

1) принадлежности точки линии (А ∈ l);

2) принадлежности точки поверхности (А ∈ α);

3) принадлежности линии поверхности (l ⊂ α).

Ко второй группе относятся задачи на пересечение. Эта группа содержит также три типа задач:

1) на пересечение линии с линией (l ∩ m);

2) на пересечение поверхности с поверхностью (α ∩ β);

3) на пересечение линии с поверхностью (l ∩ α).

С точки зрения единства принципа, положенного в основу решения позиционных задач, их можно не делить на две группы. Подходя к позиционным задачам с таких позиций, можно считать, что все многообразие позиционных задач может быть сведено к решению задач первой группы - задач на принадлежность: 1) А ∈ l, 2) А ∈ α и 3) l ⊂ α. В справедли

вости такого утверждения легко убедиться, перефразировав условия задач, входящих во вторую группу. Действительно:

1) задачу на определение точки пересечения линии с линией (l ∩ m) можно заменить задачей 1 (А ∈ l) первой группы: "определить точку, принадлежащую как линии l, так и линии m";

2) условие "построить линию пересечения поверхностей α и β" (α ∩ β - задача 2 второй группы) можно заменить задачей, относящейся к первой группе: "определить (построить) линию l, принадлежащую как поверхности α, так и β" (l ⊂ α - задача 3 первой группы);

3) задачу 3 второй группы "построить точку А пересечения линии l с поверхностью α (l ∩ α)" можно рассматривать как две задачи первой группы: А ∈ l (задача 1) и A ∈ α (задача 2).

Если учесть, что линию можно рассматривать как множество принадлежащих ей точек, то задача третьего типа (l ⊂ α) сводится к многократному решению задачи определения A ∈ α. Тогда окончательно получим следующее определение:

к позиционным относятся задачи, решение которых, в конечном счете, сводится: 1) к построению точки, принадлежащей линии (А ∈ l), и 2) к построению точки, принадлежащей поверхности (А ∈ α).

Решение таких задач базируется на инвариантном свойстве 2 (см. § 6) ортогонального проецирования, из которого вытекает:

A ∈ l ⇐⇒ (A' ∈ l') ∧ (А" ∈ l"); (2)

A ∈ α ⇐⇒ (A' ∈ l' ⊂ α') ∧ (А" ∈ l" ⊂ α" ); (3)

Проследим на примерах, как решаются позиционные задачи.

• Принадлежность точки линии (A ∈ l)

  При выяснении вопроса о принадлежности точки линии или при решении аналогичной задачи на построение точки, принадлежащей линии, достаточно использовать только свойство (2) из § 38.Подробнее

• Принадлежность точки поверхности (A ∈ α)

  При составлении алгоритма решения этой группы задач следует базироваться на свойстве (3) из § 38, т. е. для того чтобы на чертеже поверхности указать проекции принадлежащей ей точки, необходимо вначале построить проекции какой-либо линии, принадлежащей поверхности, а затем на этой линии отметить точку.Подробнее

• Принадлежность линии поверхности ( l ⊂ α)

  Построение линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения точки, принадлежащей поверхности (см. § 40, примеры 1 ... 9). Различие состоит лишь в том, что определяются проекции не одной, а п точек, принадлежащих линии.Подробнее

• Пересечение линии с линией (l ∩ m)

  Решение задач на определение общей точки, принадлежащей как линии l, так и линии m, или иначе, задач по опредачению точки пересечения двух линий, вытекает непосредственно из инварианта ортогонального проецированияПодробнее

• Пересечение поверхности с поверхностью (α ∩ β)

  Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей.Подробнее

• Пересечение плоскостей

  Использование универсального алгоритма для решения задач по определению линии пересечения поверхностей проследим вначале на наиболее простых примерах пересечения двух плоскостей.Подробнее

• Пересечение поверхности плоскостью (построение сечения)

  При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением.Подробнее

• Плоскость, касательная к поверхности

  Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. Построение касательных плоскостей в практическом отношении имеет важное значение, так как наличие их позволяет определить направление нормали к поверхности в точке касания. Подробнее

• Построение линии пересечения поверхностей (общий случай)

  В алгоритме для решения задач на построение линии пересечения двух поверхностей l = (L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... ∪ Ln); |(γj ∩ α) ∩ (γj ∩ β)] в качестве вспомогательной поверхности (посредника) γj следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности α и β по наиболее простым для построения линиям - прямым или окружностям.Подробнее

• Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

  При определении линии пересечения поверхностей пользуются не отдельными плоскостями, а пучками плоскостей, причем ось пучка может быть как собственной, так несобственной прямой.Подробнее

• Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных цилиндрических поверхностей

  В тех случаях, когда требуется построить линию пересечения двух поверхностей, из которых одна - линейчатая цилиндрическая, а другая - произвольная поверхность вращения, целесообразно в качестве поверхностей-посредников использовать цилиндрические поверхности. Подробнее

• Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных конических поверхностей

  Использование вспомогательных конических поверхностей для упрощения построения линии пересечения двух поверхностей дает положительный эффект лишь в том случае, если мы для получения вспомогательной проекции воспользуемся центральным проецированием, приняв за центр проекции вершину конической поверхности S.Подробнее

• Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

  Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей (рис. 226).Подробнее

• Построение линии пересечения поверхностей второго порядка (частные случаи)

  Рассмотрим некоторые частные случаи пересечения поверхностей второго порядка. Подробнее

• Определение точек пересечения линии с поверхностью

  В общем случае для графического решения задачи по определению положения точек пересечения (встречи) линий с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в приведенной ниже последовательности:Подробнее