Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией
ТеорияДля построения фигуры, получаемой при пересечении призмы и пирамиды плоскостью, надо или найти точки, в которых ребра призмы или пирамиды пересекают данную плоскость, или найти отрезки прямых, по которым грани призмы или пирамиды пересекаются плоскостью. В первом случае построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью, во втором случае — на пересечение плоскостей между собой.
В тех случаях, когда секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, фигура сечения проецируется с искажением. Поэтому, если требуется определить натуральный вид фигуры сечения 1), то следует применять один из способов, которые позволяют находить длину отрезка, величину угла и т. д. (см. главу V).
На рис. 273 показано пересечение прямой четырехугольной призмы плоскостью, заданной пересекающимися прямыми EF и EG. Обозначим эту плоскость буквой δ.
При пересечении получается четырехугольник, вершины которого представляют собой точки пересечения ребер призмы с пл.δ.Так как в данном случае призма прямая и основание ее параллельно пл. π1, то горизонтальная проекция фигуры сечения определяется сразу, без какого-либо построения: она накладывается на проекцию A'B'C'D'. Очевидно, можно найти точки К и L, в которых ребра призмы, проходящие через точки А и D, пересекают пл. δ, при помощи одной пл. α, в которой находится грань призмы α × δ = 1—2, откуда получаем точки К" и L".Проведя" пл. β, получим β × δ = 3 — 4 и точки М' и N'.
1) Выражение «натуральный вид сечения» мы будем применять в том случае, когда фигура сечения дается без искажения.

Итак, способ построения, который указан на рис. 273, сводится к применению вспомогательных плоскостей α и β, проходящих через соответствующие грани призмы, и построению отрезков KL и MN, по которым эти грани пересекаются пл. δ.
На фронтальной проекции линия пересечения состоит из видимой и невидимой частей; видимая часть линии пересечения расположена на обращенных к зрителю видимых гранях.
На рис. 273 находящаяся под пл. δ нижняя часть призмы представлена как невидимая. Линия пересечения лишь прочерчена на гранях призмы.
Если секущая плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций (рис. 274, слева), то проекции фигуры сечения получаются без каких-либо дополнительных проекция K"P"M"N" располагается на следе β", горизонтальная проекция K'P'N'M' совпадает с проекцией призмы.
На рис. 274 справа показано пересечение призмы пл. α, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВМ2, из которых ВМ2 параллельна ребрам призмы. Следовательно, секущая плоскость в данном случае общего положения, параллельная

ребрам призмы. Она пересекает призмы по параллелограмму 1 — 2 — 3 — 4, стороны 1 — 2 и 3 — 4 которого параллельны ребрам призмы. Чтобы провести эти стороны, надо построить след пл. α на плоскости основания призмы и пересечь им это основание по прямой 1—4.
На рис. 275 показано пересечение пирамиды плоскостью общего положения α, выраженной следами. Дело сводится к нахождению точек пересечения ребер SA, SB и SC с пл. α, т. е. к задаче на пересечение прямой с плоскостью (см. § 25). Рассмотрим нахождение точки L, в которой ребро SB пересекает пл. α. Выполняем следующие действия: 1) через SB проводим вспомогательную плоскость, в данном случае горизонтально-проецирующую β; 2) находим прямую пересечения 1—2 плоскостей α и β; 3) находим точку L в пересечении прямых SB и 1 — 2.
Далее, так как в данном случае ребро SA расположено параллельно пл. π2, проводим через него вспомогательную фронтальную плоскость δ. Она пересекает пл. α

по ее фронтали с начальной точкой 3; в пересечении этой фронтали с ребром SA получаем точку К.
Теперь обратим внимание на другую особенность в данном примере: проекция А'С' параллельна следу h'0α. Это тот случай, когда у двух плоскостей горизонтальные следы взаимно параллельны (h'0α|| А'С', но А'С' — часть горизонтального следа плоскости грани SAC) и линия пересечения таких плоскостей является их общей горизонталью. Поэтому мы можем провести через уже найденную точку К прямую, параллельную ребру АС (или ||h'0α, и так найти точку М.
Если бы не было этих особенностей, то следовало бы поступать аналогично построению точки L.
Чертеж на рис. 275 выполнен согласно условию, что пл. α прозрачна и что основным является нанесение на гранях линий разделения пирамиды на две части.
Пусть (рис. 276) пирамида рассечена пл. α, заданной пересекающимися прямыми АВ и SB, причем SB проходит через вершину пирамиды. Следовательно, пл. α рассекает ее по треугольнику, одна из вершин которого находится в точке S. Чтобы найти две другие вершины треугольника — точки 1 и 2, надо построить след пл. α на плоскости основания пирамиды. Остальное ясно из чертежа.
При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получаются две точки. Для них встречается название точки входа и выхода. Чтобы найти эти точки, надо провести через данную прямую вспомогательную плоскость и найти линии ее пересечения с гранями; эти линии на гранях оказываются расположенными в одной плоскости с данной прямой и в своем пересечении дают точки, в которых данная прямая пересекает поверхность.
Могут быть случаи, когда нет надобности в таких построениях. Пример дан на рис. 277; положение проекций К' и М' очевидно, так как боковые грани призмы перпендикулярны к пл. π1. По точкам К' и М' найдены точки К" и М".

На рис. 278 показано построение точек пересечения прямой линии с поверхностью пирамиды. Через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая пл. α. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды этой плоскостью сливается с фронтальной проекцией плоскости; горизонтальная проекция сечения найдена построением. Точки пересечения горизонтальной проекции прямой АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения представляют собой горизонтальные проекции искомых точек; по найденным горизонтальным проекциям (точки К' и М') построены фронтальные проекции (К" и М") точек пересечения.
Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью призмы можно представить себе еще следующим образом. Положим, что мы вместо прямоугольного проецирования применим косоугольное. Спроецируем призму и прямую АВ (рис. 279) на пл. π1 по направлению, параллельному ребрам данной призмы. Призма спроецируется в треугольник C1D1E1, совпадающий е горизонтальной

проекцией нижнего основания призмы, а прямая АВ — в прямую А1В1, которая пересечет стороны треугольника C1D1E1 в точках 2 и 3. Обратным проецированием мы получим проекции К'1 и К'2, а по ним К"1 и К"2.
Итак, мы рассмотрели пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией. Построения сводятся к решению задач на пересечение плоскостей и прямой с плоскостью, изложенных в §§ 24 — 26. Эти задачи имеют существенное значение и встречаются в различных случаях. Они же лежат в основе построения линий взаимного пересечения многогранных поверхностей, рассматриваемого в следующем параграфе.
Вопросы к §§ 39-42
- Что называется контуром тела по отношению к плоскости проекций?
- Чем задается призматическая поверхность?
- Какие признаки позволяют установить, что на данном чертеже изображена призма (или параллелепипед)?
- Чем задается поверхность пирамиды?
- Что понимается под названием «тетраэдр»?
- При каком условии для изображения пирамиды достаточно двух проекций?
- Что называется призматоидом?
- Что называется видом на машиностроительных чертежах?
- В чем различие между видом и проекцией и при каком условии это различие упраздняется?
- Какие применяются системы расположения изображений на технических чертежах?
- Как строится фигура, получаемая при пересечении призмы или пирамиды плоскостью?
- Как строятся точки пересечения призмы или пирамиды прямой линией (точки входа и выхода)?
- Можно ли установить общность способов этого построения и построения точки пересечения плоскости прямой линией?
- Как рассекается призма плоскостью, параллельной боковым ребрам призмы?
- Как рассекается пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды?
- Как можно применить косоугольное проецирование для нахождения точек пересечения призмы прямой линией?