Чертежи призм и пирамид

Положим, что нам известна по форме и положению фигура, полученная при пересечении всех боковых граней призмы плоскостью, и известно направление ребер призмы (рис. 258). Этим задается призматическая поверхность. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, мы получаем основания призмы (рис. 258). Можно задаться одним из оснований призмы и ее высотой или длиной бокового ребра и тем задать призму.

Выбирая положение призмы для ее изображения, целесообразно располагать ее основания параллельно плоскости проекций.

Какие признаки позволяют установить, что на данном чертеже изображена именно призма (или, в частности, параллелепипед)? Наличие на чертеже только прямолинейных отрезков ²), причем они служат проекциями или ребер, или граней, наличие параллелограммов или прямоугольников как проекций боковых граней и любого многоугольника как проекции основания.

¹) Мы могли бы считать, что контуру тела в данном случае принадлежат и все точки отрезков АВ,ВС,DB₁, B₁D₁, EF и E₁F₁ и даже площади треугольников АВС и DB₁D₁ и части трапеций EFF₁E₁, так как проецирующие плоскости α₁; α₂ и α₃ проходят соответственно через эти фигуры.

Примеры даны на рис. 258 — 260: здесь в системе π₁, π₂ изображены прямая треугольная призма, наклонная четырехугольная призма и куб (о том, что это именно куб, свидетельствует равенство ребер и прямоугольность граней).

Но для тела, изображенного на рис. 261, несмотря на наличие некоторых из указанных выше признаков, было бы ошибочным утверждать, что это обязательно призма или параллелепипед. На рис. 261 справа показаны возможные варианты решений. Очевидно, в данном случае для уточнения следовало бы иметь профильную проекцию или обозначение вершин.

На рис. 262 изображена неправильная четырехугольная призма (основаниями служат трапеции). На рис. 263 (сверху) показано построение профильной проекции этой призмы с применением вспомогательной прямой. Там же (внизу) показано отнесение призмы к плоскостям координат, совпадающим с ее гранями. В этом случае третья проекция построена по координатам вершин.

Для задания поверхности пирамиды надо иметь фигуру сечения всех боковых граней пирамиды плоскостью и точку их пересечения.

Обычно пирамида задается на чертеже проекциями ее основания и вершины, а усеченная пирамида — проекциями обоих оснований.

²) Условие, общее для всех многогранников.

Выбирая положение пирамиды для ее изображения, целесообразно располагать ее основание параллельно плоскости проекций. На рис. 264 изображена в системе π₁; π₂ неправильная треугольная пирамида с основанием, параллельным пл. π₁ ¹). Чертеж дает ясное представление о форме основания и боковых граней. Для пирамиды вообще достаточно двух проекций при условии, что на одной из них показана форма основания. Но для тела, изображенного на рис. 265, несмотря на многое, что напоминает о пирамиде, было бы ошибочным утверждать, что это обязательно

пирамида. Здесь в системе π₁,π₂ остается невыясненной форма линии, расположенной в профильной плоскости. Эта линия может быть кривой, и, следовательно, грани, в которые она входит, не будут плоскими фигурами (рис. 265, справа). Очевидно, решению вопроса о том, является данное тело пирамидой или нет, могла бы помочь профильная проекция.

На рис. 266 показано, как, например, могут быть взяты оси координат для данной пирамиды. Ось z направлена по высоте пирамиды, плоскость координат хОу совмещена с основанием пирамиды. Для осей координат даны их проекции. При таком расположении осей вершина S определяется лишь одной координатой — аппликатой.

¹) Треугольная пирамида называется иначе тетраэдром (греч. tetra — четыре и hedra — сторона). Слово «тетраэдр» применяется как общее название треугольных пирамид. Но тетраэдром называется также правильный четырехгранник.

Если нужно на обеих проекциях многогранника построить точку, лежащую на одной из его граней, то следует «связать» точку с соответствующей гранью при помощи какой-либо прямой.

На рис. 259 точка К построена на грани ABDC при помощи отрезка прямой КМ. Пусть, например, по данной фронтальной проекции К” точки К требуется найти ее горизонтальную проекцию, причем точка К должна лежать на грани ABDC. В этом случае сначала строится фронтальная проекция отрезка вспомогательной прямой (К"М"), а затем горизонтальная проекция этого отрезка, и на ней

определяется горизонтальная проекция точки К. Так как отрезок К"М"||А"В", то и К'М'||А'В'.

На рис. 264 показацо построение точки К на грани SAC при помощи прямой, проведенной через вершину пирамиды. Если дана горизонтальная проекция К' точки К и надо найти проекцию К", то сначала надо построить отрезок S'M'. Далее найти точку М” по точке М', получить отрезок S"M" и на нем — искомую проекцию К".

На рис. 267 изображена усеченная пятиугольная пирамида и показано построение точки К на грани ABDC по заданной проекции К' при помощи отрезка прямой DM.

Выбор вспомогательной прямой для построения точки на грани вообще произволен, при этом следует стремиться к возможно более простым построениям.

На рис. 268 изображено тело в форме правильной треугольной пирамиды с призматическим отверстием в ней. Построение проведено по фронтальной проекции, заданной полностью. На чертеже показано построение точек 1 и 5 (на горизонтальной проекции) при помощи прямых, проведенных через вершину S. Точки 3, 4 и 6 (на горизонтальной проекции) найдены при помощи прямых, проходящих на гранях SAB и SAC параллельно пл. π₁ горизонтальные проекции этих прямых проходят через точку М' параллельно А'В' и А'С. Точка 2 может быть найдена в данном случае либо аналогично точке 3, либо при помощи проекции на пл. π₃.

На рис. 269 дан пример многогранника, называемого призматоидом. В таком многограннике параллельные основания представляют собой многоугольники с произвольным числом сторон, а грани — треугольники или трапеции (на рис. 269, например, треугольник ADE и трапеция BHGC).