Построение проекций многогранников

Построение проекции многогранника на нек.оторой плоскости сводится к построению проекций точек. Например, проецируя пирамиду SABC на пл.π₂ (рис. 256, слева), мы строим проекции вершин S, А, В и С и, как следствие, проекции основания АВС, граней SAB, SBC, SAC, ребер SA, SB и др.

Также, проецируя трехгранный угол ¹) с вершиной S (рис. 256, справа), мы, помимо вершины S, берем на ребрах угла по одной точке (К, М, N) и проецируем их

на пл. π₂; в результате получаем проекции ребер и граней (плоских углов) трехгранного угла и в целом самый угол.

На рис. 257 изображены многогранное тело ACBB₁D... (т. е. часть пространства, ограниченного со всех сторон плоскими фигурами — многоугольниками) и его проекция на пл. π₁ — фигура A'C'F'₁E'₁D'₁D'E'F'. Каждая точка, расположенная внутри очерка этой фигуры (т. е. линии, ограничивающей ее), является проекцией по крайней мере двух точек поверхности этого тела. Например, точка с двойным обозначением М' и N' служит проекцией точек М и N, лежащих на общей для них проецирующей прямой.

Точка, лежащая на самом очерке проекции, является проекцией или одной точки (например, А' есть проекция точки А), или нескольких, а иногда и множества точек (например, В' является проекцией не только точки В, но и множества точек грани АВС, расположенных на проецирующей прямой В В').

Проецирующие прямые, проходящие через все точки очерка проекции, в своей совокупности образуют проецирующую поверхность, внутри которой, касаясь ее, заключено данное тело. Для тела, изображенного на рис. 257, проецирующая поверхность состоит из плоскостей α₁, α₂, α₃ и т. д. Линия касания проецирующей поверхности и тела называется контуром тела по отношению к выбранной плоскости проекций. На рис. 257 таким контуром служит ломаная ACF₁E₁D₁DEFA ¹).

¹) В данном случае выпуклый, т. е. такой, который весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной.

Проецирующей поверхностью при параллельном проецировании являетсπ₁ как это указывалось в § 1, поверхность цилиндрическая. Если контур тела по отношению к плоскости проекций содержит прямолинейные отрезки, то проецирующая поверхность для каждого такого участка обращается в плоскую.

Проведенная на проекции прямая В'В'₁ является проекцией ребра BB₁ видимого по отношению к пл. π₁. Показ на проекции тела всех видимых его ребер является обязательным.

Проекция отрезка FF₁ получается внутри очерка проекции; она показана штриховой линией, так как, по условиям видимости, точки отрезка FF₁ при проецировании на пл. π₁ невидимы.

Построение проекции гранной поверхности также сводится к построению проекций некоторых точек и прямых линий этой поверхности. Проекция поверхности, ограничивающей какое-либо тело, имеет очерк, общий с очерком проекции этого тела. В случае изображения бесконечно простирающейся поверхности отделяют линиями некоторую ее часть и тем устанавливают условный контур по отношению к плоскости проекций.