О проекциях плоских углов

Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов, знание которых поможет в дальнейшем правильно читать эпюр и решать задачи по определению величины угла, если известны его ортогональные проекции.

1. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется на эту плоскость с искажением.

Следует иметь в виду, что проекции острого или тупого углов могут, при определенных условиях, проецироваться на плоскость проекции без искажения, будучи и не параллельными плоскости проекции.

Из рис. 276 видно, что все углы с вершиной на прямой (MN), стороны которых расположены в проецирующих плоскостях α и β, проецируются в ∠KNL; при этом проецируемые углы BAD и ВАС могут изменяться в пределах от 0° до 180°. Естественно, что среди них будет угол, равный ∠KNL.

2. Если хотя бы одна сторона тупого, прямого или острого угла параллельна плоскости проекции, то проекцией угла на эту плоскость будет угол с тем же названием, что и сам угол (тупой, прямой, острый) .

Убедиться в этом легко на примере, показанном на рис. 277. Пусть дан отрезок [АВ] || π₁ , строим тупой ∠АВС и острый ∠ABD. Сторону BD угла ABD проводим так, чтобы [BD] принадлежал плоскости, определяемой точками А, В, С. Проводим в плоскости А, В, С отрезок [BE] ⊥ [АВ] . Так как ∠АВЕ прямой, а сторона угла АВ || π₁ , то проекция этого угла на плоскость π₁ также будет равна 90° . Из чертежа видно, что ∠A'B'D < 90°, a ∠А'В'С > 90°.

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость он проецируется без искажения.

Справедливость этого утверждения не вызывает сомнения - оно вытекает непосредственно из инвариантного свойства ортогонального проецирования (Ф ⊂ β) ∧ (β || π₁ ) = Ф' ≅ Ф.

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекции или одинаково наклонены к ней, то деление пополам проекции угла соответствует его делению пополам в пространстве (рис. 278).

Стороны ∠АВС (рис. 278) наклонены под одинаковым углом к плоскости проекции π₁ : ∠А'В'С' - ортогональ-

ная проекция ∠АВС на плоскость π₁, [B'D'] - биссектриса ∠A'B'C'.

В заключение следует еще раз заострить внимание читателя на частном случае проецирования прямого угла. Сформулируем его не в виде свойства, как это было сделано в гл. I, § 6, а в виде вытекающего из него следствия: если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекции, равна прямому углу, то и проецируемый угол также прямой.

Это следствие имеет весьма важное значение. Базируясь на нем, мы можем просто, с минимальным числом геометрических построений решать на эпюре Монжа задачи по построению:

а) прямых, перпендикулярных друг к другу;

б) прямой, перпендикулярной плоскости;

в) взаимно перпендикулярных плоскостей (см. гл. VI, § 54).