Построение линии пересечения поверхностей второго порядка (частные случаи)

Рассмотрим некоторые частные случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей, поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямые или две кривые второго порядка. Следует иметь в виду, что некоторые линии, на которые распадается кривая, могут быть мнимыми.

Случаи, когда кривая четвертого порядка распадается на четыре прямые (четыре линии первого порядка), можно проследить на примерах пересечения поверхностей двух цилиндров второго порядка с параллельными осями (рис. 233,а), а также двух конических поверхностей второго порядка, имеющих общую вершину (рис. 233,6).

Условия, при которых кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следующими теоремами:

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой.

В качестве иллюстрации этой теоремы на рис. 234 показаны фронтальные проекции l"₁ и l"₂ кривых второго порядка (в частности, окружностей) , полученных при пересечении поверхностей сферы α и эллиптического цилиндра β.

Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис. 235 показано пересечение двух поверхностей второго порядка: конической α и цилиндрической β. Поверхности α и β имеют две общие касательные плоскости ε и δ и соответственно две общие

точки касания А и В. Поэтому по теореме 2 они пересекаются по двум кривым второго порядка, расположенным в плоскостях ζ и η.

Плоскости ζ и η проходят через прямую (АВ). Так как (АВ) перпендикулярна плоскости проекции π₂, то плоскости ζ и η фронтально проецирующие, следовательно, принадлежащие им кривые проецируются на плоскость π₂ в отрезки [ C"D"] и [E"F"], при этом [C"D"] ⊂ f_0ζ, а [E"F"] ⊂ f_0η.

Теорема 2 может быть использована и для решения задачи на определение положения плоскостей, пересекающих поверхности второго порядка по окружностям.

ПРИМЕР. Определить положение плос костей ζ и η, которые пересекают поверхность эллиптического цилиндра α по окружностям (рис. 236) .

РЕШЕНИЕ.Проведем сферу β, имеющую две общие касательные плоскости с цилиндрической поверхностью (сфера β и цилиндр α имеют двойное соприкаса-

ние) . Для этого центр сферы должен находиться на оси i цилиндрической поверхности α, а ее радиус R = |i'A'|. Поверхности цилиндра и сферы соприкасаются в точках А и В. На основании теоремы 2 поверхности сферы и цилиндра пересекаются по двум кривым второго порядка, принадлежащим фронтально проецирующим плоскостям ζ и η. Эти кривые, проецирующиеся на плоскость π₂ в отрезки [C"D"] и [E"F"], являются окружностями, так как сопряженные диаметры замкнутой кривой второго порядка равны между собой |АВ| = |CD| и |АВ| = |EF| .

Теорема 3. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания *.

Эта теорема по существу является частным случаем теоремы 2. Практическое использование теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка могут быть описаны около сферы или вписаны в нее.

Рис. 237 дает представление о том, как можно определить линии пересечения двух конических поверхностей α и β, описанных около сферы γ. Поверхность α соприкасается со сферой γ по окружности, фронтальная проекция которой [1"2"], а с поверхностью β - по окружности, проецирующейся в [ 3"4"]. Точки пересечения этих окружностей А и В являются точками соприкасания поверхностей α и β.

По теореме 3 плоскости кривых l₁ и 1₂ должны проходить через прямую (АВ). Так как (АВ) ⊥ π₂, то плоскости ζ ⊃ l₁ и η ⊃ l₂ фронтально проецирующие, а проекции кривых l₁ и 1₂ проецируются в отрезки [C"D"] и [Е"F"] .

Показанные на рис. 237 конические поверхности α и β пересекаются по двум кривым, одна из которых l₁- эллипс, другая l₂ - парабола (см. § 45, рис. 199, 200).