Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных конических поверхностей

Использование вспомогательных конических поверхностей для упрощения построения линии пересечения двух поверхностей дает положительный эффект лишь в том случае, если мы для получения вспомогательной проекции воспользуемся центральным проецированием, приняв за центр проекции вершину конической поверхности S.

В этом случае любая коническая поверхность, принадлежащая связке конических поверхностей, вершины которых принадлежат точке S - центру связки, займет проецирующее положение относительно плоскости проекции, что даст возможность так же, как это было сделано при использовании плоскостей и цилиндрических поверхностей (§ 48 и 49), базироваться на инвариантном свойстве 2г * Ф ⊂ γ ∧ (γ ⊥ π₁) ⇒ Ф' ⊂ h_0γ и благодаря этому упростить решение задачи.

Построение линии пересечения поверхностей с помощью конических поверхностей целесообразно в тех случаях, когда одна из пересекающихся поверхностей коническая, а другая поверхность вращения.

Например, если заданы поверхность вращения и произвольная коническая поверхность, то для определения линии их пересечения следует воспользоваться вспомогательными коническими поверхностями, вершины которых совпадают с вершиной заданной конической поверхности, а за направляющие этих поверхностей принять окружности, проведенные на поверхности вращения.

На рис. 225 показано решение задачи на построение линии пересечения поверхности вращения с конической поверхностью.

Геометрические построения, которые необходимо осуществить для определения линии пересечения, выполняем в следующем порядке:

1) на поверхности вращения а проводим ряд окружностей с₁, c₂, с₃, ..., которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности а пучком плоскостей { ε ...} , параллельных плоскости π₁ ;

2) принимаем эти окружности за направляющие конических поверхностей γ₁, γ₂, γ₃, ... с вершиной в точке S. Горизонтальными следами этих поверхностей будут окружности h_0γ1, h_0γ1 , h_0γ1,..., проведенные из центров 2', 7' 12'..., радиусами, соответственно равными фронтальным проекциям отрезков | 2", 3"|, | 7", 8"| , | 12", 13"| ;

3) определяем прямые (S'4'), (S'5'), (S'9'), (S'10'), (S'14'), (S'15'), по которым вспомогательные секущие поверхности γ₁, γ₂, γ₃ пересекают заданную коническую поверхность β;

* Инвариантное свойство 2г, сформулированное относительно плоскости при ортогональном проецировании, будет справедливым и для конической поверхности, если использовать центральное проецирование.

4) отмечаем точки пересечения этих прямых с соответствующими окружностями. Точки А, В, С, D, Е, F принадлежат искомой линии пересечения.

На рис. 225 показано также определение высшей L и низшей К точек, принадлежащих линии пересечения. Положение этих точек найдено с помощью горизонтально проецирующей плоскости ζ, проходящей через вершину конической поверхности S и ось i поверхности вращения α. Плоскость ζ пересечет коническую поверхность по образующей ST, а поверхность вращения по меридиану g. Для определения точек пересечения меридиана g с образующей ST вращаем плоскость ζ, которой принадлежат эти точки, вокруг оси, перпендикулярной к π₁ и проходящей через вершину конуса S, до положения, параллельного плоскости π₂. Находим фронтальные проекции точек К"₁ и L"₁, а затем К" и L". Зная положение К" и L", определяем их горизонтальные проекции К' и L'. Соединив одноименные проекции полученных точек плавной кривой, получим проекции линии пересечения заданных поверхностей.