Пересечение поверхности с поверхностью (α ∩ β)

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей. Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей α и β сводится к нахождению общих точек, принадлежащих как множеству точек, составляющему поверхность α, так и другому множеству точек, входящих в состав поверхности β.

Способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в следующем: заданные поверхности пересекают третьей, вспомогательной поверхностью (вид и расположение вспомогательной секущей поверхности выбират с таким расчетом, чтобы можно было лег ко определить линии пересечения этой поверхности с заданными); находят линии, по которым эта вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из данных поверхностей. Далее отмечают точку (точки), в которой пересекаются полученные линии пересечения (рис. 182) .

Построив отмеченные операции n раз, получим множество точек. Линия l, соединяющая эти точки, является искомой линией пересечения поверхностей.

Используя геометрический язык, ход решения задачи можно представить в виде формализованного алгоритма, записанного в символической форме.

В табл. 8 дано традиционное для начертательной геометрии словесное описание алгоритма (слева) и соответствующая ему символическая запись на геометрическом языке (справа).

Таблица 8. Описание алгоритма решения задачи по определению линии пересечения двух поверхностей

Алгоритм нахождения точек, общих для двух заданных множеств точек - поверхностей α и β можно записать в виде

l = (L₁ ∪ L₂ ∪ L₃ ∪ ... ∪ L_n); [L_j = (γ_j ∩ α) ∩ (γ_j ∩ β)]. (4)

Повторяя многократно последовательность операций, обозначенных в приведенном алгоритме (каждый раз, естественно, меняя положение вспомогательной секущей поверхности γ_j), можно получить любое число точек, принадлежащих искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Рассматриваемый алгоритм определения точек, принадлежащих линии пересечения двух поверхностей, является универсальным, так как

под α и β могут подразумеваться любые поверхности, в том числе и плоскости. На выбор вида и расположения вспомогательной секущей поверхности γ_j в приведенном алгоритме также не накладывается никаких ограничений.

Вдумчивый читатель может задать вполне справедливый вопрос: "Что это за алгоритм, который предписывает решать задачи по определению точки (точек), принадлежащей линии пересечения двух поверхностей, путем решения двух задач, в каждой из которых также приходится строить линию пересечения поверхностей?".

Такое, на первый взгляд, нелогичное построение алгоритма становится вполне оправданным, если учесть, что данные поверхности α и β могут иметь любую форму и занимать произвольное положение в пространстве, что не позволяет непосредственно, по эпюру, определить линию их пересечения. А в качестве вспомогательной секущей поверхности γ_j мы можем выбрать поверхность удобной формы и так ориентировать ее относительно плоскостей проекций, чтобы получить простое решение для определения линии ее пересечения с каждой из заданных поверхностей.

Среди инвариантных свойств ортогонального проецирования находим (Ф ⊂ γ) ∧ (γ ⊥ π₁ ) ⇒ Ф' ⊂ h_0γ, т. е., если фигура Ф принадлежит поверхности γ ⊥ плоскости π₁ , то ортогональная проекция Ф' на эту плоскость принадлежит следу поверхности h_0γ (см. § 6, свойство 2 г). Поэтому, если принять за вспомогательную секущую поверхность γ ⊥ π₁ (или π₂ ), то линии m_j и n_j пересечения этой поверхности с поверхностями α и β будут иметь горизонтальные (или фронтальные) проекции m'_j ⊂ h_0γj и n'_j ⊂ h_0γj (m"_j ⊂ f_0γj и n"_j ⊂ f_0γj ), т. е. решение подчас сложной задачи на построение линии пересечения поверхностей α и β мы заменяем решением двух простейших задач: 1) определить линию пересечения проецирующей поверхности γ_j с поверхностью α; 2) определить линию пересечения той же поверхности γ_j с поверхностью β. Очевидно, что каждая из этих задач сводится к построению второй проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна из ее проекций. Решение последней задачи состоит из многократного определения недостающей проекции точки, принадлежащей поверхности, т. е. сводится к решению позиционной задачи второго вида А ∈ α (см. § 40).