Линейчатые поверхности с одной направляющей - торсы

Рассматриваемая в этом параграфе группа линейчатых поверхностей с одной криволинейной направляющей называется торсами, а криволинейная направляющая таких поверхностей - ребром возврата *.

Поверхностью с ребром возврата (торсом) называют поверхность, описываемую движением прямой - образующей g, касающейся некоторой пространственной кривой - направляющей ᵭ.

Торсы обладают замечательным свойством - они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов, путем последовательных ее изгибов по прямолинейным образующим. В связи с этим можно дать и другое определение поверхности торса. Торсом называют линейчатую поверхность, которую можно совместить всеми ее точками с плоскостью без складок и разрывов. Такие поверхности называют также развертывающимися поверхностями.

Если ребро возврата вырождается в точку, то получается частный вид торса - коническая поверхность (если точка собственная) или цилиндрическая поверхность в случае вырождения ребра возврата в несобственную точку.

Итак, к рассматриваемой группе линейчатых поверхностей относятся:

1) поверхность с ребром возврата (табл. 6, рис. 146);

2) поверхность коническая (табл. 6, рис. 147) ;

3) поверхность цилиндрическая (табл. 6, рис. 148).

В частном случае торсовые поверхности преобразуются в плоскость. Для этого достаточно, чтобы ребро возврата ᵭ₁ преобразовалось в плоскую кривую, а направляющая d₁ конической или цилиндрической поверхности - в прямую линию. Определитель этой группы поверхностей имеет вид

Ф(g, ᵭ₁,S); [g_j ᵭ₁ = S_j ∈ ᵭ₁) ].

Рассмотрим более подробно каждую из отмеченных поверхностей.

1. Поверхность с ребром возврата. Образование этой поверхности можно представить таким образом. Пусть даны плавная кривая d и точка S, причем S ∈ α ⊃ d (рис. 149). Разделим кривую d на n участков, границы которых отметим точками 1, 2, 3, ... , n. Проведем прямую S1 и отложим на ней от точки S вниз [SS₁]. Конец отрезка S₁ соединим прямой с точкой 2 ∈ d, получим отсек конической поверхности S₁ 1 2.

* Ребро возврата следует рассматривать как кривую, в которой "совпадают" все три криволинейные направляющие линейчатой поверхности d₁ ≡ d₂ ≡ d₃.

Таблица 6. Линейчатые поверхности одной направляющей - торсы. Группа В_II; Ф(g, ᵭ₁,S); [g_j ᵭ₁ = S_j ∈ ᵭ₁) ]

На прямой (S₁ 2) откладываем [S₁S₂] и конец отрезка S₂ соединяем с точкой 3 ∈ d - вновь получаем отсек конической поверхности S₂23. Повторяя описанные операции n раз, мы получим n следующих один за другим отсеков конических поверхностей с вершинами в точках S₁, S₂, S₃, ... , S_n. Если уменьшить длину отрезков [SS₁ ], [S₁S₂], [S₂S₃], ... , [S_n-1S_n], то ломаная линия SS₁S₂S₃ ... S_n в пределе превратится в плавную пространственную кривую d₁ , называемую ребром возврата, а прямолинейные звенья этой ломаной линии перейдут в касательные к кривой d₁. Непрерывное множество этих касательных образует поверхность с ребром возврата (торс).

Из рис. 146 видно, что поверхность с ребром возврата имеет две полы. Ребро возврата служит границей этих пол. Так как в каждой точке плавной кривой можно провести только одну касательную, то

при задании поверхности с ребром возврата направляющую - кривую d можно не указывать. Поэтому определитель такой поверхности будет иметь вид

Ф(g, ᵭ₁,S); [g_j ᵭ₁ = S_j ∈ ᵭ₁) ]

где ᵭ₁ - пространственная плавная кривая - ребро возврата, g - прямая образующая, S - точка, принадлежащая кривой ᵭ₁ . Условие, отражающее закон движения прямолинейной образующей, состоит в том, что она, двигаясь вдоль ребра возврата, все время остается касательной к нему.

В машиностроении находит применение частный вид торсовой поверхности, у которой ребром возврата служит цилиндрическая винтовая линия. Полученную с помощью этой линии поверхность называют винтовым торсом. На рис. 150 показаны ортогональные проекции отсека поверхности винтового торса.

2. Коническая поверхность. Все прямолинейные образующие конической поверхности пересекаются в собственной точке S. Это условие соблюдается лишь в том случае, когда ребро возврата ᵭ₁ вырождается в собственную точку S (см. рис. 147). Определитель конической поверхности имеет вид

Ф(g, ᵭ₁,S); [g_j ∩ ᵭ₁≠ ∅ ∧ ∩g_j = S ]

Приведенная символическая запись определителя конической поверхности показывает, что эта поверхность однозначно определяется прямолинейной образующей, кривой направляющей и точкой S, при этом прямолинейная образующая пересекает направляющую (g_j ∩ ᵭ ≠ ∅ - пересечение g_j и ᵭ не пустое множество) и все образующие пересекаются в одной точке ( ∩ g_j = S).

На рис. 151 показано задание конической поверхности на эпюре Монжа. Проекции образующих g₁, g₂, g₃, ... , g_n на рис. 151 указаны только для наглядности. Коническая поверхность однозначно задается проекциями ее образующей, направляющей и вершиной (g_jd, S).

3. Цилиндрическая поверхность получается в том случае, когда все прямолинейные образующие пересекаются в несобственной точке S_∞.

В этом случае определитель поверхности может быть записан:

Ф(g, ᵭ,S_∞); [g_j ∩ ᵭ ≠ ∅ ∧ ∩ g_j = S_∞ ]

Отличие определителя цилиндрической поверхности от определителя конической поверхности состоит лишь в том, что образующие цилиндрической поверхности параллельны (пересекаются в несобственной точке), в то время как для конической поверхности характерным является пересечение всех ее прямолинейных образующих в собственной точке.

На рис. 148 (табл. 6) показана произвольная цилиндрическая поверхность. Рис. 152 дает представление о ее задании на эпюре Монжа.

4. Плоскость. Раньше было отмечено, что частным случаем торсовых поверхностей является плоскость, и указаны условия, при которых поверхность с ребром возврата, коническая и цилиндрическая преобразуются в плоскость. Рис. 153 дает наглядное представление об этих преобразованиях.