Натуральная величина отрезка прямой и углы наклона прямой к плоскостям проекций

17*. Найти натуральную величину отрезка прямой АВ, заданного его проекциями, и определить углы наклона прямой к плоскостям V и Н (рис. 15).

Р е ш е и и е. Как известно, натуральная величина отрезка может быть определена как величина гипотенузы прямоутольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на какой-либо плоскости проекций, а другим — разность расстоянии концов отрезка до этой же плоскости. Если одним из катетов является горизонт, проекция, то угол между гипотенузой и этим катетом равен углу наклона (а) прямой к горизонт, плоскости проекций. Угол наклона (р) этой же прямой к фронт, пл. проекций определяется из треугольника, в котором в качестве первого катета взята фронт, проекция отрезка, а второй катет определен по разности расстоянии концов отрезка до фронт, пл. проекции.

Для определения натуральной величины отрезка АВ и углова α и β на рис. 15 построены прямоугольные треугольники baА и b'a'А. В треугольнике ЬаА катет аА равен разности расстояний точек А и В до горизонт, пл. проекций. В треугольнике Ь'а'А катет а'А равен разности расстояний точек А и В до фронт, пл. проекций.

18. Определить натуральную величину отрезка прямой АВ (рис. 16) и углы наклона его к плоскостям проекций.

19. Определить натуральную величину отрезка заданной прямой между ее фронт. (N) и горизонт. (M) следами и углы наклона этой прямой к обеим плоскостям проекции (рис. 17).

20*. Отложить на заданной прямой отрезок АВ, равный l (рис. 18, а).

Решение. На заданной прямой (рис. 18, б) берем произвольный отрезок АК и определяем его натуральную величину. Строим прямоугольный треугольник с катетами ak и kK, равным разности расстояний точек А и К от пл. Н. На гипотенузе построенного треугольника откладываем отрезок аB заданной длины l. Из точки B проводим прямую параллельно kK. Получаем точку b и горизонт, проекцию ab искомого отрезка АВ, равного l. По точке b находим точку b'; а'b' — фронт. проекция искомого отрезка АВ.

21. На прямой АВ (рис. 19) отложить отрезок АС, равный l.

22*. Провести в первой четверти через точку А (рис. 20, а) прямую, составляющую с пл. Н угол α = 30° и с пл. V угол β = 45°.

Решение. Следует проверить условие: каждый из углов (α и β) должен быть острым, а сумма этих углов должна быть или меньше 90° (для прямой общего положения), или равна 90° (для профильной прямой). В задании α + β = 30°+ 45° = 75°, т. е. меньше 90°. Следовательно, построение может быть выполнено.

С углами α и β мы уже встречались и задаче 17*. Если задаться каким-либо отрезком АВ прямой и принять его за гипотенузу некоторого прямоугольного треугольника, то, зная углыа α и β, можно построить два таких треугольника (рис. 20, б). В одном из них (с углом α) катет А—1 выражает горизонт, проекцию отрезка АВ, а катет В—1 — разность расстояний концов отрезка АВ от пл. H; в другом треугольнике (с углом β) катет А—2 выражает фронт, проекцию отрезка АВ, а катег В—2 — разность расстояний концов отрезка от пл. V.

Теперь можно построить чертеж (рис. 20, в).

Откладываем на линии связи а'а от точки а' вниз отрезок а'—3, равный найденному на рис. 20,б катету В—1. Через точку 3 проводим прямую, перпендикулярную к линии связи а'а, а из точки а' проводим дугу окружности, радиус которой должен равняться катету А—2 (рис. 20, б). В пересечении прямой и дуги получим точку b'.

Для построения точки b откладываем на линии связи а'а от точки а вниз отрезом а—4, равный катету В—2 (рис. 20, б), проводим через точку 4 прямую перепендикулярно к линии связи а'а и находим на ней точку b.

При точном построении проекция ab (рис. 20,в) должн.а получиться равной катету А—1 (рис. 20,6).

Конечно, можно получить при тех же данных еще три положения отрезка АВ; соответствующие чертежи показаны на рис. 20, г. Построение по существу не отличалось бы от приведенного на рис. 20, в.

23. Через точку А (рис. 21) провести (вправо вниз, от себя) прямую, составляющую с пл. Н угол α = 15° и с пл. V угол β = 30° до пересечения ее с пл. V.