Проекции центральные

^Теория

Для получения центральных проекций (центральное проецирование) надо задаться плоскостью проекций и центром проекций — точкой, не лежащей в этой плоскости (рис. 1: плоскость π₀ и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. π₀, получаем точку А⁰. Так же поступаем, например, с точками В и С. Точки А⁰, В⁰, С⁰ являются центральными проекциями точек А, В, С на пл. π₀: они получаются в пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC с плоскостью проекций. ¹)

Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются, но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но бесконечно удаленную (D_∞).

Не изменяя положения пл. π₀ и взяв новый центр S₁ (рис. 2), получаем новую проекцию точки А — точку A₁⁰. Если же взять центр S₂ на той же проецирующей прямой SA, то проекция А₂⁰ останется неизменной (А⁰≡А₂⁰).

Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А⁰), нельзя по ней определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного решения, очевидно, необходимы дополнительные условия.

Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность ²)

¹) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную проекцию — полярной.

²) В связи с этим центральные проекции также называют коническими. Понятие о конической поверхности см. в стереометрии.

или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой линии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).

Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4, проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций.

От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию поверхности и тела.