Ортогональные проекции линии

Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить между собой одноименные проекции в той же последовательности, в какой они располагались на оригинале. При задании кривой ее проекциями необходимо указать по крайней мере проекции одной точки, принадлежащей кривой. Действительно, если на проекциях кривой l (рис. 111) не указать проекции точки А(А',А"), то по одним только проекциям l' и l" нельзя судить о форме кривой.

Следует также иметь в виду, что по двум ортогональным проекциям кривбй нельзя сразу ответить на вопрос о том, какой кривой (плоской или пространственной) соответствуют данные проекции. Чтобы

установить, какая (плоская или пространственная) кривая линия задана на эпюре, необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости: если принадлежат - кривая плоская, в противном случае - пространственная. Заданная на рис. 112 кривая 1 - пространственная, так как точка М, взятая на кривой, не принадлежит плоскости а, определяемой тремя другими точками А, В, С этой кривой.

СВОЙСТВА КРИВЫХ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

При построении ортогональных проекций кривых необходимо знать те свойства этих кривых, которые сохраняются (инвариантны) при проецировании. К таким свойствам относятся:

1. Касательные к кривой проецируются в касательные к ее проекциям.

2. Несобственным точкам кривой соответствуют несобственные точки ее проекции.

При проецировании плоских кривых в дополнение к отмеченным будут справедливы следующие свойства:

3. Порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой.

4. Число узловых точек (точек, в которых кривая пересекает саму себя) на проекции кривой равно числу узловых точек самой кривой*.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ

Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии. Винтовую линию можно рассматривать как результат перемещения точки по поверхности вращения.

Если зафиксировать положение точки на поверхности прямого кругового цилиндра острием хорошо заточенного карандаша, а затем начать вращать цилиндр вокруг его оси и равномерно перемещать карандаш вдоль оси цилиндра, то острие карандаша опишет на цилиндрической поверхности пространственную кривую, называемую цилиндрической винтовой линией **. Ось цилиндрической поверхности будет

* Случаи, когда касательная проецируется в точку (свойство 1) , а плоская кривая в прямую (свойства 3 и 4) , не учитываются.

** Если движение точки будет происходить по поверхности вращения другого вида, например конической или сферической, то получим соответственно коническую и сферическую винтовые линии.

осью винтовой линии, а радиус цилиндрической поверхности - радиусом винтовой линии.

Если вращение цилиндра и прямолинейное перемещение карандаша равномерны, то получим цилиндрическую винтовую линию, называемую гелисой, т. е. гелиса является траекторией движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси и одновременно перемещающейся с постоянной скоростью вдоль этой оси. Величину Р перемещения точки в направлении оси, соответствующую одному ее обороту вокруг оси, называюг шагом винтовой линии.

Для построения проекции винтовой линии, в частности гелисы, предварительно строим проекции прямого кругового цилиндра (рис. 113). Окружность основания цилиндра (горизонтальная проекция гелисы) делим на одинаковое число равных частей. На такое же число частей делим шаг (на фронтальной проекции). Из точек деления окружности проводим линии связи, а через соответствующие точки деления шага -

горизонтальные прямые. Отмечаем точки 1", 2", 3", ... , 8", в которых пересекаются соответственные прямые. Соединив полученные точки (1",2", 3", ... , 8") плавной кривой, получим фронтальную проекцию винтовой линии. Цилиндрические винтовые линии подразделяют на правые и левые (с правым или левым ходом). Основанием для такого деления служит направление движения точки, "спускающейся" по винтовой линии. Если проекция этого направления на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии, совпадает с направлением движения часовой стрелки, то винтовая линия - правого хода, в противном случае винтовую линию считают левой. На рис. 113 показана правая винтовая линия.

Гипотенуза треугольника l₁₁ l₁₀ l₀, изображенного на рис. 113 справа, является разверткой гелисы на протяжении ее шага. Цилиндрическая винтовая линия вполне определяется радиусом, шагом и ходом.