Классификация точек плоской кривой

Вид кривой l вблизи некоторой точки М с единственной касательной t зависит от характера движения точки вдоль касательной и направления: поворота касательной. Поясним это утверждение на примерах.

Пусть по кривой l движется точка М (рис. 104). Перемещение точки М₀ (М₀ ∈ l) в положение М₁ (М₁ ∈ l) можно рассматривать как движение точки по дуге кривой l в направлении, указанном зеленой стрелкой.

Проведем через точки М₀ и М₁ касательные к кривой l. Точку М₀ можно рассматривать не только с позиции ее принадлежности к кривой l, но и как принадлежащую касательной t₀. В этом случае перемещение точки М₀ (М₀ ∈ t₀) в положение М₁ (M₁ ∈ t₁ ) следует трактовать как движение точки по касательной в направлении, указанном зеленой стрелкой. Причем для того чтобы точка М₀ ∈ t₀ заняла положение M₁ ∈ t₁, необходимо, чтобы касательная t₀ при переходе в положение t₁ поворачивалась в направлении, указанном стрелкой.

При перемещении точки M₁ в положение М₂ направление ее движения вдоль кривой (касательной) по сравнению с участком М₀М₁ не меняется; не меняется и направление поворота касательной t₁ .

Из рассмотрения рис. 104 видно, что характер движения точки по кривой l, выявленный для участков М₀М₁, М₁М₂, сохранится и на других участках М₂М₃, ... , М_n-1М_n. Все рассмотренные точки (М₀, M₁, М₂, ... , М_n) кривой l и проведенные через них касательные (t₀, t₁, t₂, ... , t_n) обладают общим свойством: направление движения точки вдоль кривой (и касательной) и направление поворота касательной не меняются.

Такие точки и проведенные через них касательные к кривой называют соответственно: обыкновенной (регулярной) точкой и обыкновенной (регулярной) касательной. Кривую l, состоящую только из регулярных точек, называют плавной кривой. На рис. 105 изображена плавная кривая и указаны принадлежащая ей регулярная точка М и проведенные через нее касательная и нормаль к кривой l.

Если направление движения точки или поворота касательной меняется, то мы будем иметь дело с особой точкой и особой касательной.

На рис. 106 показана кривая l и указаны принадлежащие ей точки М₀, M₁, М, М₂, М₃ с проведенными через них касательными t₀, t₁,t, t₂, t₃. Мы видим, что ни в одной из указанных точек направление их движения вдоль кривой не меняется. Что касается направления вращения касательной, то оно меняется на противоположное в точке М. Такую точку называют точкой перегиба. В точках перегиба касательная меняет вместе с направлением вращения и сторону кривой. Две ветви кривой расположены по. разные Стороны от общей касательной t и по разные стороны от нормали n.

На рис. 107 показана кривая l с особой точкой М, которая называется точкой возврата первого рода или заостренной точкой. В точках возврата первого рода две ветви кривой располагаются по одну сторону от нормали и по разные стороны от касательной.

Рис. 108 дает представление о точке возврата второго рода*. Мы видим, что в точках возврата второго рода две ветви кривой расположены по одну сторону от общей для обеих ветвей касательной и по одну сторону от нормали. В точках возврата второго рода изменяется не только направление движения точки по кривой, но и направление вращения касательной.

Кроме отмеченных, к особым точкам кривой относятся:

а) угловая точка (рис. 109). В угловой точке (ее называют также точкой излома) направление кривой и касательной к ней изменяется "скачком", и поэтому кривая имеет в точке М две касательные и, соответственно, две различные нормали;

* Точку возврата второго рода называют также "клюв".

б) узел, или многократная точка (рис. 110). В узловой точке кривая пересекает саму себя. В зависимости от числа самопересечений узловые точки могут быть: двойными, тройными и т. д. На рис. 110,а и б показаны двойные, на рис. 110,в - тройная точка.