Эволюта и эвольвента

Определение эволюты и эвольвенты неразрывно связано с понятием кривизны кривой линии. Если определить положение центров кривизны O₁, O₂, ... , О_n ряда, принадлежащих данной кривой l (рис. 102), точек А₁, А₂, ... , А_n и соединить их плавной кривой, то получим кривую m, называемую эволютой кривой l. Итак, эволюта есть множество точек, являющихся центрами кривизны линии.

Кривая l по отношению к кривой m (своей эволюте) называется эвольвентой. Образование эвольвенты можно представить из рассмотрения рис. 103. Отметим на кривой пт ряд точек М, М₁, М₂,..., М_n. Примем их за вершины ломаной линии. Из точки М₁ как из центра проведем дугу окружности ML₁ радиусом r₁ = |М₁М| (точка L₁ ∈ M₂M₁). Затем из точки М₂ проведем дугу радиусом r₂ = |M₂L₁| и отметим точку ее пересечения с продолжением звена М₃М₂ ломаной линии М₁М₂М₃. . Далее проведем дугу радиусом r₃ = |М₃L₂| и определим положение точки . Следуя описанным путем, можно определить точки L₁, ... , L_n. Множество точек L₁, L₂, ... , L_n образуют центровую кривую l. Если число сторон ломаной линии М, M₁, М₂, ... , М_n неограниченно возрастает, то в пределе получим кривую m и соответственно кривую l, состоящую из после-

довательных дуг окружностей монотонно изменяющихся радиусов. Кривая l есть эвольвента кривой m.

Эвольвенты находят широкое применение в технике. В частности, профили зубьев различных зубчатых передач имеют форму эвольвенты окружности. Ввиду широкого использования эволют и эвольвент в инженерной практике целесообразно отметить некоторые их свойства, вытекающие непосредственно из рассмотренных способов построения.

1. Эволюта представляет собой множество точек, являющихся центрами кривизны всех точек эвольвенты.

2. Касательные эволюты являются нормалями эвольвенты.

3. Всякая плоская кривая линия имеет бесчисленное множество эвольвент.

4. Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эвольвента.

5. Длина дуги эволюты равна абсолютному значению разности радиусов кривизны эвольвенты в концах ее дуг.