Приближенные способы построения касательной и нормали к плоской кривой

Графический способ построения касательной и нормали к плоской кривой базируется на использовании "кривой ошибок". Для построения этой кривой из точки, через которую должна проходить искомая касательная, проводим лучи, пересекающие заданную кривую. Отмечаем концы хорд, по которым лучи пересекают кривую, и с помощью этих хорд строим "кривую ошибок".

Сущность способа проследим на конкретных примерах.

ПРИМЕР 1. Построение касательной к кривой, проходящей через точку, не принадлежащую кривой (рис. 96).

Пусть даны кривая l и точка А (A ∈ α ⊃ l)∧(А ∉ l).

Проведем через точку А ряд секущих a₁, а₂, а₃, а₄. Отметим точки 1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁, в которых эти секущие пересекают кривую l. Через середины полученных хорд проведем плавную кривую m (линию m называют "кривой ошибок") .

Пересечение линии m с заданной кривой ( определит точку касания М. (AM) - искомая касательная t к кривой l, проведенная из точки А.

ПРИМЕР 2. Построение касательной к кривой параллельно заданному направлению s (рис. 97) .

Для определения точки касания М проведем ряд секущих а₁, а₂, а₃, а₄ параллельно заданному направлению s. Через середины хорд [1 1₁], [2 2₁],[3 3₁], [4, 4₁] проведем плавную кривую m и отметим точку М ее пересечения с заданной кривой l. Точка М будет точкой касания, а прямая t, проходящая через эту точку параллельно s, искомой касательной.

ПРИМЕР 3. Построение касательной к кривой в данной точке касания М (рис. 98).

Проведем произвольную прямую b, примерно перпендикулярную к искомой касательной, а через точку М ряд секущих а₁, а₂, а₃, а₄ так, чтобы они пересекали и кривую l и прямую b. От точек пересечения секущих с прямой b отложим (на секущих) отрезки, равные хордам

[Ml] , [М2], [М3], [М4], при этом длины хорд, расположенных по разные стороны от точки касания М, отложим с разных сторон oт прямой b. Полученные точки соединим плавной кривой m.

Пересечение кривой m с прямой b укажет точку 1, принадлежащую касательной. Соединив А с М прямой линией, получим искомую касательную t.

ПРИМЕР 4. Построение нормали к кривой, проходящей через точку, не принадлежащую данной кривой (рис.99).

В плоскости даны кривая l и точка А, не принадлежащая кривой l. Примем точку А за центр окружностей разных радиусов, эти окружности пересекут данную кривую в точках 1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁, которые примем за концы хорд. Из концов хорд восставим перпендикуляры. При этом перпендикуляры, восставленные из точек 1, 2, 3, 4, будут иметь противоположное направление перпендикулярам, восставленным из точек 1 ₁, 2₁, 3₁, 4₁. На этих перпендикулярах отложим отрезки, равные длине соответствующих хорд.

Полученные точки соединим плавной кривой m. Пересечение m с l укажет положение точки М, через которую пройдет искомая нормаль n (n ⊥ [1, 1₁]). Для проведения нормали к кривой линии параллельно заданному направлению или через данную на кривой точку предварительно надо построить касательную к кривой (см. примеры 1 и 3 на с. 73). Определив положение точки касания (первый случай) и направление касательной (второй случай), легко провести нормаль к кривой.