Замена одной плоскости проекции

Пусть в системе плоскостей х·π₂/π₁ дана точка А и указаны ее проекции А' и А" (рис. 74,а). Проследим, как изменится положение проекций точки А, если плоскость π₂ заменить новой плоскостью π₃, перпендикулярной к π₁ . Горизонтальная плоскость проекции не меняет

* Следует иметь в виду, что В. Л. Тороховым предложен способ замены плоскостей π₁ и π₂ одновременно двумя взаимно перпендикулярными плоскостями π₃ и π₄, что позволяет осуществить непосредственный переход от х· π₂/π₁ к х₂·π₃/π₄, минуя промежуточное звено x₁·π₃/π₁ или x₁·π₂/π₃ . Подробно с этим способом можно познакомиться в книге С. А. Фролова "Методы преобразования ортогональных проекций". М.: Машиностроение, 1970.

своего положения, т. е. мы осуществляем переход от Системы х · π₂/π₁ к новой системе x₁· π₃/π₁ . Плоскость π₃ пересекается с плоскостью π₁ по прямой х₁, которая определяет новую ось проекции. Положение горизонтальной проекции А' точки А остается без изменения, так как точка А и плоскость π₁ не меняли своего положения в пространстве.

Для нахождения новой фронтальной проекции точки А'" достаточно спроецировать ортогонально точку А на плоскость π₃. Из чертежа видно, что расстояние от новой фронтальной проекции А'" точки А до новой оси x₁ равно расстоянию от старой фронтальной проекции A" до старой оси х (|A'"A_{x 1}| = |А"А_x|).

Чтобы перейти от пространственного макета к эпюру, необходимо совместить плоскость π₃ с плоскостью чертежа. Метод замены плоскостей проекций предусматривает совмещение новой плоскости с той из старых плоскостей, к которой она перпендикулярна. В рассматриваемом случае ввиду перпендикулярности плоскостей π₃ и π₁ плоскость π₃ совмещена с π₁. За ось вращения принята новая ось проекций x₁. Направление поворота не оказывает никакого влияния на результат преобразования. Поворот следует делать в таком направлении, при котором новые проекции не накладываются на старые и не затрудняют чтения чертежа. На рис. 74,а совмещение плоскости π₃ с π₁ осуществлено вращением ее по направлению движения часовой стрелки.

Равенство аппликат новой А'" и старой А" фронтальных проекций точки А и использование в обоих случаях прямоугольного проецирования делают построение новой фронтальной проекции чрезвычайно простым. Оно состоит в том, что через старую горизонтальную проекцию точки проводят прямую, перпендикулярную к новой оси, и откладывают на ней от точки пересечения с осью отрезок, равный расстоянию от старой фронтальной проекции до старой оси (рис. 74,6).

Замена горизонтальной плоскости π₁ новой плоскостью π₃ и построение новых проекции точки А в системе x₁·π₂/π₃ осуществляется аналогично только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что теперь оггается без изменения фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А'" точки А необходимо из старой фронтальной проекции точки опустить перпендикуляр на новую ось х₁ и отложить на нем от точки пересечения с осью х₁ отрезок, равный расстоянию от старой горизонтальной проекции до старой оси х.

Построения, выполненные по этому правилу, приведены на рис. 75. На рис. 76 показан отрезок [АВ], произвольно расположенный в про-

странстве, и его новая фронтальная проекция на плоскость π₃, которой он параллелен. Все построения ясны из чертежа и не требуют пояснения.

На рис. 77 приведено решение задачи, при котором плоскость общего положения а оказалась фронтально проецирующей относительно плоскости π₃. Известно, что горизонтальный след фронтально проецирующей плоскости перпендикулярен к оси х, следовательно, чтобы плоскость α заняла фронтально проецирующее положение, необходимо новую ось x₁ провести перпендикулярно к h_0α. Через точку X_α1, в которой h_0α ∩ x₁ , пройдет фронтальный след f_{0 α1}. Для определения его направления достаточно найти одну точку. В качестве такой точки можно взять произвольную точку 1" ∈ f_0α и указать ее фронтальную проекцию 1'" на новой плоскости π₃. Через X_α1 и 1"' проводим f_{0 α1} .