Способ вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекции (совмещение)

Совмещение является частным случаем вращения плоскости вокруг горизонтали и фронтали. При совмещении за ось вращения принимается не произвольная горизонталь или фронталь плоскости, а ее горизонтальный или фронтальный след (нулевые горизонталь или фронталь) . В этом случае в результате поворота плоскости она совпадает (совмещается) с плоскостью проекции , если вращение осуществляется вокруг горизонтального следа плоскости, либо с π₂ при вращении вокруг ее фронтального следа.

Совмещение так же, как и вращение вокруг горизонтали или фронтали, применяется, когда требуется определить истинный вид фигур, принадлежащих плоскости, или построить в плоскости общего положения фигуру заданной формы и размеров.

Сущность способа совмещения можно уяснить из рассмотрения рис. 72,а. Плоскость общего положения α вращается вокруг следа h_0α до совпадения ее с горизонтальной плоскостью проекции. При этом преобразовании след h_0α, как ось вращения, останется на месте. Поэтому для нахождения совмещенного положения плоскости достаточно найти совмещенное положение только одной принадлежащей ей точки (не лежащей на следе h_0α).

В качестве такой точки целесообразно (для упрощения графических построений) взять точку А, принадлежащую фронтальному следу.

Точка А (А'А") при вращении вокруг оси h_0α будет перемещаться по дуге окружности, принадлежащей плоскости β, перпендикулярной к оси вращения.

Графические построения, которые необходимо выполнить на эпюре Монжа для определения положения точки А, приведены на рис. 72,а (как видно из рисунка, они аналогичны построениям, выполненным на рис. 70). Совмещенное с плоскостью проекции положение фронтального следа f_0α1 определяется точками Хα и А'₁.

Следует иметь в виду, что любая геометрическая фигура плоскости α при ее совмещении с плоскостью проекции π₁ проецируется в конгруентную фигуру. Поэтому [Х_αА"], указывающий расстояние от точки схода следов Х_α до А", принадлежащей фронтальному следу, конг-

руентен [Х_αА'₁] на совмещенном положении следа f_0α1. В связи с этим положение точки А'₁, а следовательно, и следа f_0α1 можно определить, не пользуясь центром и радиусом вращения. Для этого достаточно из точки Х_α (рис. 72,6) описать дугу радиусом, равным расстоянию |Х_αА"|, до ее пересечения с прямой (горизонтальным следом h_0β1 плоскости β, в которой будет перемещаться точка А), проведенной через А' перпендикулярно к h_0α. Через полученную точку пройдет фронтальный след плоскости f_0α1 при совмещении его с плоскостью π₁.

В § 9 ... 12 мы познакомились с различными способами перевода геометрической фигуры, занимающей общее положение в пространстве, в частное положение. Иногда приходится решать обратную задачу, связанную с построением проекций плоской фигуры заданной формы и размеров, принадлежащей плоскости общего положения.

Решение такой задачи можно выполнить, используя способ совмещения.

План решения задачи следующий:

1) совмещаем плоскость, которой должна принадлежать фигура, с какой-либо плоскостью проекции;

2) строим (вычерчиваем) на совмещенном положении плоскости требуемую фигуру;

3) "поднимаем" (поворачиваем) плоскость вместе с изображенной на ней фигурой в пространство.

Графические построения, которые надо выполнить, чтобы "поднять" плоскость в пространство, аналогичны построениям, выполняемым при совмещении плоскости с плоскостью проекции, только выполняются они в обратной последовательности.

В качестве иллюстрации покажем решение задачи на построение проекций окружности с, принадлежащей плоскости общего положения α, если известно положение ее центра О и величина радиуса R (рис. 73).

Графические построения осуществляем в последовательности, указанной в приведенном выше плане решения.

Плоскость α совмещаем с плоскостью π₁ так же, как это было сделано на рис. 72,6. Затем через точку О (O', О") проводим фронталь f (f, f") и горизонталь h (h', h") плоскости α и находим их совмещенное положение f'₁(f'₁ || f_{1 0α}) И h'₁ (h'₁ || h_0α). Центр окружности О ∈ f, поэтому для определения положения центра достаточно через горизонтальную проекцию О' провести прямую, перпендикулярную оси вращения h_0α, и отметить точку ее пересечения с совмещенной фронталью (горизонталью).

Из центра O'₁ проводим окружность с'₁ заданным радиусом R. Отмечаем точки N'₁, М'₁, С'₁, D'₁, в которых f'₁ и h'₁ пересекают окружность с'₁ . По М'₁ находим М' (М ∈ f следовательно, М' ∈ f'); М'₁ перехо

ит в М' по дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения h_0α. Дуга этой окружности проецируется на π₁ в [М'₁М'].

Аналогично находим точки N', С', D' - концы двух диаметров окружности. На рис. 73 показано также нахождение произвольных точек А', В', Е'.

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций способом замены плоскостей проекций достигается путем перехода от заданных плоскостей проекций к новым. Новая плоскость проекции выбирается перпендикулярной к одной из старых. Проецируемые геометрические фигуры при этом не меняют своего положения в пространстве.

При выборе положения новой плоскости проекции следует руководствоваться тем, что по отношению к новой плоскости проецируемая фигура должна занимать частное положение, обеспечивающее получение проекций, наиболее удобных для решения поставленной задачи. В некоторых случаях бывает достаточно заменить только одну плоскость проекции π₁ на π₃ или π₂ на π₃. Если замена одной плоскости проекции не обеспечивает требуемого вида вспомогательной проекции, производят замену двух плоскостей. При этом переход от исходной системы плоскостей проекции х π₂/π₁ к новой х₂ π₄/π₃ может быть осуществлен по одной из следующих схем:

x·π₂/π₁ → x·₁π₂/π₃ → x·₂π₄/π₃

или

x·π₂/π₁ → x·₁π₃/π₁ → x·π₃/π₄

Приведенные схемы показывают, что мы одновременно можем менять только одну плоскость проекций π₁ (или π₂); другая плоскость π₂ (или π₁ ) остается неизменной. После того как будут определены новые фронтальные (или горизонтальные) проекции, можно переходить ко второй системе, заменяя плоскость π₂ (или π₁ ) новой плоскостью. Нгличие одной плоскости проекции, которая не меняет своего положения, позволяет использовать ее как связующее звено между старыми (исходными) проекциями и новыми*.