Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекции (вращение вокруг линии уровня)

Эффективным приемом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путем такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции. В этом случае ортогональная проекция любой принадлежащей плоскости фигуры будет конгруентна оригиналу и, следовательно, позволит определить все метрические характеристики проецируемой фигуры непосредственно по ее проекции без каких-либо дополнительных построений.

Очевидно, вращая плоскость вокруг горизонтали, можно перевести ее в положение, параллельное плоскости π₁, и получить неискаженный вид горизонтальной проекции. Вращение плоскости вокруг фронтали позволяет перевести ее в положение, параллельное плоскости π₂, что обеспечит получение неискаженного вида фронтальной проекции.

Каждая точка плоскости при ее вращении перемещается по окружности, принадлежащей плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Центр окружности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса вращения равна расстоянию от точки до оси вращения. Если за ось вращения взята горизонталь, то окружность, представляющая траекторию движения точки, будет проецироваться на плоскость π₁ в отрезок прямой, перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали. На плоскость π₂ окружность проецируется в эллипс, построение которого можно не делать. Точка пересечения горизонтальных проекций горизонтали и горизонтальной проекции окружности определяет горизонтальную проекцию центра вращения.

Аналогично, при вращении плоскости вокруг фронтали любая точка, принадлежащая плоскости, перемещается по окружности, которая проецируется на плоскость π₂ в отрезок прямой, перпендикулярной фронтальной проекции фронтали. Фронтальная проекция центра вращения определяется пересечением фронтальных проекций фронтали и окружности.

Вращение точки вокруг горизонтали показано на рис. 69. Точка А при вращении вокруг горизонтали h будет перемещаться по окружности с, плоскость которой β перпендикулярна оси вращения h. Чтобы переместить точку в новое положение путем поворота ее вокруг h, необходимо найти положение центра вращения и определить величину радиуса вращения. Центр вращения О находится в точке пересечения оси вращения h с плоскостью β. Чтобы определить величину радиуса вращения ОА , необходимо построить в плоскости π₁ прямоугольный ΔО'А'А*₀. Для этого принимаем горизонтальную проекцию О'А' за катет прямоугольного треугольника; второй катет должен быть равен разности аппликат концов отрезка ОА: |z_(·)А - z_(·)O |= |А1|. Гипотенуза ΔО'А'А₀ О'А₀ = R. Новое, после поворота, положение точки А'₁ находится в месте пересечения дуги окружности, проведенной из горизонтальной

* Величину отрезка [ОА] можно определить и другим путем, например, вращением его вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции; плоскопараллельным перемещением или, как это будет показано в § 13, с помощью замены плоскости проекции.

проекции центра вращения О' радиусом, равным |О'A₀|, с горизонтальным следом h_0β плоскости β.

На рис. 70 описанные выше построения выполнены на эпюре Монжа. Характер и последовательность геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения плоскости, произвольно расположенной в пространстве, в положение, параллельное плоскости проекции π₂ , вращением вокруг линии уровня, показаны на рис. 71, на котором плоскость α, заданная пересекающимися прямыми а и b, переведена вращением вокруг своей фронтали f в положение, параллельное плоскости π₂.

Плоскость α однозначно определяется также тремя точками 1,2 и А. Так как точки 1 и 2 принадлежат фронтали f, которая принята за ось вращения, то они не меняют своего положения в процессе преобразования. Поэтому, чтобы задать новое положение плоскости α₁|| π₂, достаточно осуществить поворот только одной точки А. Ниже приводится последовательность геометрических построений, которые необходимо выполнить для поворота точки А:

1) провести горизонтальную проекцию фронтали плоскости α - f'(1', 2' );

2) пользуясь точками 1', 2', найти точки 1", 2", определяющие фронтальную проекцию фронтали f";

3) найти проекции центра вращения (O', О"), для чего через А" провести прямую, перпендикулярную к f", и отметить точку пересечения перпендикуляра с f" - точку О";

4) определить величину радиуса вращения, как гипотенузу прямоугольного треугольника О"А"А₀, у которого катет А"А₀ = |У(·)А - У(·)O|;

5) из центра О" провести дугу радиусом О"А₀, точка пересечения которой с прямой О"А" укажет положение А"₁.

Точка А₁ совместно с прямой f (точками 1, 2) определяет плоскость α₁ || π₂.