Способ параллельного перемещения

Для параллельного перемещения (переноса) справедливо утверждение, которое может быть выражено в виде следующей теоремы:

при параллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции проекция фигуры на эту плоскость хотя и ме-

няет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении

Докажем эту теорему для случая, когда проецируемая фигура плоская и ее плоскость принадлежит плоскости уровня Ф ⊆ α, плоскость α ||π₁ (рис. 58). В этом случае на основании инвариантного свойства 2д (см. § 6) горизонтальная проекция Ф' будет конгруентна самой фигуре Ф (Ф' ≅ Ф).

При перемещении фигуры Ф в новое положение Ф₁ фигура Ф₁ будет конгруентна Ф, так как:

а) расстояние между точками фигуры не меняется;

б) в процессе перемещения фигура Ф все время остается в плоскости α.

В силу параллельности плоскостей α и π₁ Ф'₁ ≅ Ф₁,но Ф₁ ≅ Ф, а Ф ≅ Ф', следовательно, Ф'₁ ≅ Ф'. Доказанная теорема будет справедлива и в случае, когда геометрическая фигура занимает произвольное положение относительно плоскости проекции.

Отметим еще два свойства параллельного перемещения:

1. При всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции π₁, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х.

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости, параллельной π₂, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси X.

Справедливость отмеченных свойств может быть легко показана на простом примере.

Возьмем плоскость α, параллельную горизонтальной плоскости проекции π₁ (рис. 59). Пусть точка А ∈ α переместится из положения А в A₁(А → A₁ ). двигаясь в плоскости α по произвольной траектории (l₁, l₂ или l₃). Очевидно, фронтальная проекция точки А" переместится в А"₁, при этом [А" А"₁] принадлежит следу f_0α, который параллелен оси х ([А"А"₁] ⊂ f_0α || х).

На рис. 59,6 показано перемещение точки В ∈ β || π₂. Из чертежа видно, что горизонтальная проекция траектории перемещения точки В из первоначального положения в новое В₁ представляет |В'В'₁| ⊂ h_0β || х и не зависит от вида линии - траектории перемещения точки из положения В в B₁ .

Пользуясь приведенной теоремой и отмеченными свойствами, легко построить новые проекции геометрической фигуры по заданным ее ортогональным проекциям, и, в частности, такие ее проекции, которые

соответствуют отмеченным выше (см. с. 48) частным положениям проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекции.

Проследим на примерах использование способа параллельного перемещения для перевода произвольно расположенной геометрической фигуры в частное положение.

ПРИМЕР 1. [АB] прямой общего положения а перевести в положение, параллельное плоскости π₂ (рис. 60).

У [АB], параллельного плоскости π₂, горизонтальная проекция должна быть параллельна оси х. Поэтому переводим [A'В'] в новое положение [A'₁В'₁], параллельное оси х. Перемещение отрезка в новое положение осуществляем так, чтобы любые его точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости π₁ . При таком перемещении новая горизонтальная проекция конгруентна исходной [A'₁В'₁] ≅ [А'В'] (на основании теоремы с. 49).

Фронтальные проекции точек отрезка [А"В"] будут перемещаться в новое по

ложение по прямым, параллельным оси х (свойство 1,с.49).

На рис. 60 графические построения выполнены в указанной ниже последовательности :

1) через произвольную точку А'₁ провели прямую а'₁, параллельную оси х;

2) отложили на ней от точки А'₁ отрезок [A'₁B'₁] ≅ [А 'В'];

3) из точек А'₁ и В'₁ восставили перпендикуляры к оси х и нашли точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными через точки А" и В".

Полученные точки A'₁, B'₁ являются концами фронтальной проекции отрезка [А₁В₁], параллельного плоскости π₂ .

Для перевода отрезка прямой, произвольно расположенной в пространстве, в положение, параллельное плоскости π₂, потребовалось выполнить только одно перемещение отрезка параллельно плоскости проекции. Для перевода отрезка из общего положения в проецирую-

щее необходимо последовательно выполнить два его перемещения параллельно плоскостям проекции: вначале перевести отрезок в положение, параллельное плоскости π₁ (или π₂) путем перемещения параллельно плоскости π₂ (или π₁), затем перевести отрезок в положение, перпендикулярное π₂ (или π₁).

ПРИМЕР 2. [CD] прямой общего положения Ь перевести в положение ⊥ π₂ (рис. 61).

На рис. 61 [CD] вначале переведен в положение ||π₁([С₁D₁]), затем перемещением параллельно плоскости π₁ - в положение ⊥ π₂ ([C₂D₂ ] ) .

Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из общего положения в проецирующее, можно легко перевести плоскость, произвольно расположенную в пространстве, в частное положение (параллельное или перпендикулярное плоскости проекции).

На рис. 62 показан перевод плоскости общего положения α(h_0α, f_0α) в новое α₁ (h_0α1, f_0α1 ). при этом α₁ ⊥ π₂ .

Как видно из чертежа, перевод плоскости α в положение α₁ осуществлен с помощью горизонтали h, которая переведена в положение h₁ ⊥ π₂, поэтому и α₁ ⊥ π₂. Следует обратить внимание на то, что расстояние d остается постоянным:

|h_0αh'| = |h_0α1h'₁ |.

Рис. 63 дает представление о преобразовании ортогональных проекций ΔАВС, определяющего плоскость общего положения β, в проекции ΔА₂В₂С₂, задающего плоскость β₂ || π₁ .

Геометрические построения выполнены в последовательности, указанной индексами, поставленными у проекций точек справа внизу. Выполненные на эпюре построения соответствуют перемещению плоскости в пространстве вначале || π₁ во фронтально-проецирующее положение (ΔA₁B₁C₁ ), затем перемещением || π₂ плоскость треугольника переведена в положение || (ΔА₂В₂С₂).