Построение взаимно перпендикулярных плоскостей

Построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α, может быть произведено двумя путями: 1) пл. β проводится через прямую, перпендикулярную к пл. α; 2) пл. β проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. α или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия.

На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты фрон- таль CN и горизонталь СМ: если B"F"⊥C"N" и B'F'⊥C'M', то BF⊥пл. CDE.

Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к пл. CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис. 194 горизонтально-проецирующая плоскость β проходит через точку К перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником АВС. Здесь дополнительным условием являлась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к пл. АВС и к пл.π₁. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к прямой, принадлежащей пл. АВС, то пл. β перпендикулярна к пл. АВС.

----------

Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить признаком перпендикулярности самих плоскостей?

К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость β, перпендикулярную к плоскости общего положения α.

Если пл. β перпендикулярна к пл. π₁ и к пл. α, то β⊥h'_0α как к линии пересечения пл. α и пл. π₁. Отсюда h'_0α⊥β и, следовательно, h'_0α⊥β', как к одной из прямых в пл. β.

Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого параграфа.

В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения — профильная γ и про- фильно-проецирующая α.