Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой

Построение прямой, параллельной заданной, плоскости, основано на следующем положении, известном из геометрии: прямая параллельна плоскости, если эта прямая параллельна любой прямой в плоскости.

Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие.

Например, через точку М (рис. 180) требуется провести прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником АВС, и плоскости проекций π₁ (дополнительное условие).

Очевидно, искомая прямая должна быть параллельна линии пересечения обеих плоскостей, т. е. должна быть параллельна горизонтальному следу плоскости, заданной треугольником АВС. Для определения направления этого следа можно воспользоваться горизонталью плоскости, заданной треугольником АВС. На рис. 180 проведена горизонталь DC и затем через точку М проведена прямая, параллельная этой горизонтали.

Поставим обратную задачу: через заданную точку провести плоскость, параллельную заданной прямой линии. Плоскости, проходящие через некоторую точку А параллельно некоторой прямой ВС, образуют пучок плоскостей, осью которого является прямая, проходящая через точку А параллельно прямой ВС. Для получения единственного решения требуется какое-либо дополнительное условие.

Например, надо провести плоскость, параллельную прямой CD, не через точку, а через прямую АВ (рис. 181). Прямые АВ и CD — скрещивающиеся. Если через одну из двух скрещивающихся прямых требуется провести плоскость, параллель-

ную другой, то задача имеет единственное решение. Через точку В проведена прямая, параллельная прямой CD; прямые АВ и BE определяют плоскость, параллельную прямой CD.

----------

Как установить, параллельна ли данная прямая данной плоскости?

Можно попытаться провести в этой плоскости некоторую прямую параллельно данной прямой. Если такую прямую в плоскости не удается построить, то заданные прямая и плоскость не параллельны между собой.

Можно попытаться найти также точку пересечения данной прямой с данной плоскостью. Если такая точка не может быть найдена, то заданные прямая и плоскость взаимно параллельны.