Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью

В § 24 был изложен общий способ построения линии пересечения двух плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис. 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям общего положения. Этот способ заключается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, что изложено в § 25.

На рис. 177 показано пересечение треугольника АВС плоскостью, заданной двумя параллельными прямыми (DE||FG). Построение свелось к построению точек К₁ и К₂, в которых прямые DE и FG пересекают плоскость треугольника, и к проведению через эти точки отрезка прямой линии. Представляя себе, что через DE и FG проведены фронтально-проецирующие плоскости, находим параллельные прямые, по которым эти плоскости пересекают треугольник. Одна из них выражена проекциями 1'2' и 1"2"; для другой показана одна точка 3", 3', через горизонтальную проекцию которой проведена прямая, параллельно проекции 1'2'. Определив положение проекций К'₁ и К'₂, находим проекции К"₁ и К"₂2 и проекции отр.К₁К₂

Конечно, и в рассмотренном случае применим общий способ (см. рис. 166), но пришлось бы провести больше линий, чем это сделано на рис. 177.

На рис. 178 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников.

Прямая К₁К₂ построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтальнорующая плоскость, проведенная через АС (на чертеже эта плоскость особо не обозначена), пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2'; в пересечении проекций А'С' и 1'2' получена горизонтальная проекция точки К₁ пересечения прямой АС и треугольника DEF, затем построена фронтальная проекция К"₁. Так же найдена и точка К₂.

В примерах на рис. 177 и 178 мы встретились с вопросом о разделении плоских фигур на части, видимые и невидимые для зрителя, так как плоскости считаются

непрозрачными. На чертежах это показано при помощи штриховки соответствующих частей треугольников АВС. Видимость определена на основании таких же рассуждений, какие имели место в примере, рассмотренном на рис. 173.

На рис. 179 приведен еще один пример построения линии пересечения двух треугольников. В данном случае с одинаковым основанием можно считать, что треугольник АВС проходит в прорезь в треугольнике DEF или треугольник DEF проходит в прорезь в треугольнике АВС: надо лишь условиться, в каком из треугольников считать эту прорезь по прямой К₁К₂. Между тем в случае, приведенном на рис. 178, прорезь только в треугольнике DEF и треугольник АВС проходит через нее,

Самое построение На рис. 179 сводится к нахождению точки К₁ и точки К₂ при помощи фронтально-проецирующих плоскостей γ₁ И γ₂.

Следует еще раз обратить внимание на то, что применение штриховых линий вместо сплошных, например на рис. 159, 161, 164, 165, 173— 179, подсказано желанием сделать изображения более наглядными. Если исходить из понятия о проекции как геометрическом образе, то вопрос о «прозрачности» или «непрозрачности», о «видимости» и «невидимости» отпал бы: все надо было бы изображать сплошными линиями. Но для придания чертежам наглядности введены некоторые условности, в том числе штриховые линии.

Вопросы к §§ 25-26

1. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью?
2. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения этой точки (см. вопрос 1)?
3. Как определить «видимость» при пересечении прямой с плоскостью?
4. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не применять общего способа, описанного в § 24?
5. Как определить «видимость» в случае взаимного пересечения двух плоскостей?
6. Чем отличаются случаи, рассмотренные на рис. 178 и 179?