Построение линии пересечения двух плоскостей

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая K₁К₂ (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником АВС, и пл. β, заданная прямыми DE и DF, проходит через точки K₁ и K₂; но в этих точках прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. β т. е. точки К₁ и К₂ принадлежат обеим плоскостям.

Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.

Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая.

На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. π₂. Так как треугольник DEF проецируется на пл.π₂ в виде прямой линии (D"F"), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К"₁К"₂ на проекции D"F". Дальнейшее построение ясно из чертежа.

Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей — отрезок M'N' — определяется на следе α'.

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ,— двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая K₁K₂. Выразим это записью: β × γ = К₁K₂.

Для определения положения точек K₁ и К₂ возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (α₁, и α₂), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ плоскостью α₁. получаем прямые с проекциями 1"2", 1'2' и 3"4", 3'4'. Эти прямые, расположенные в пл. α₁, в своем пересечении определяют первую точку, К₁, линии пересечения плоскостей β и γ.

Введя, далее, ил. α₂, получаем в ее пересечении с β и γ прямые с проекциями 5"6", 5'6' и 7"8", 7'8'. Эти прямые, расположенные в пл. α₂, в своем пересечении определяют вторую точку, К₂, общую для β и γ.

Получив проекции К'₁ и К'₂ находим на следах и α"₁ и α"₂ проекции К"₁ и К"₂. Этим определяются проекции К'₁К'₂ и К"₁К"₂ искомой прямой пересечения плоскостей β и γ(проекции проведены штрихпунктирной линией).

При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости α₁ и α₂ взаимно параллельны, то, построив проекции 1'2' и 3'4' следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5'6'||1'2' и 7'8'||3'4'.

В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронгально- проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими

плоскостей β и γ горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что β и γ пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей АВ и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости β и γ при помощи хотя бы, горизонгально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость σ, пересечет β и γ, также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости β и γ не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей β и γ параллельно прямым ВА и CD.

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения.

Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций:

α × π₁=h'_0α; β× π₁=h'_0β; h'_0α × h'_0β=M;

α × π₂=f"_0α; β× π₂=f"_0β; f"_0α × f"_0β=N.

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β (рис. 168) надо: 1) найти точку М' в пересечении следов h'_0α и h'_0β

и точку N" в пересечении f"_0α и f"_0β, а по ним — проекции М" и N'; 2) провести прямые линии M"N" и M'N',

На рис. 169—171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лйшь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

Вопросы к §§ 22-24

1. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
2. Каков признак параллельности двух плоскостей?
3. Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей?
4. Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
5. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей?
6. Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
7. Как установить взаимное положение прямой и Плоскости?
8. Как строится точка пересечения прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
9. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. π₁ б) пл. π₂ считается видимой соответственно на π₁, на π₂?
10. Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна к пл. π₁ или к пл. π₂?
11. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?