Построение проекций плоских фигур

Построение проекций плоских фигур (т. е. фигур, все точки которых лежат в одной плоскости, например, квадрата, круга, эллипса и т. д.) сводится к построению проекций ряда точек, отрезков прямых и кривых линий, образующих контуры проекций фигур. Зная координаты вершин, например, треугольника, можно построить проекции этих точек, затем проекции сторон и получить таким образом проекции фигуры.

Чертежи, содержащие проекции треугольника, уже встречались (например, рис. 110, 112 и др.). Если сравнить между собой рис. 110 и 112, то можно заметить, что на рис. 110 одна из проекций, положим фронтальная, изображает «лицевую» сторону треугольника, а горизонтальная — «тыльную». А на рис. 112 каждая из проекций изображает треугольник с одной и той же его стороны. Признаком может служить порядок обхода вершин: на рис. 110 для фронтальной проекции по часовой стрелке (считая от А" к С"), а для горизонтальной — против часовой стрелки; на рис. 112 для обеих проекций обход в одном направлении — в данном случае по часовой стрелке.

В общем случае в системе π₁, π₂, π₃ проекции какого-либо многоугольника представляют собой также многоугольники с тем же числом сторон; при этом плоскость этого многоугольника является плоскостью общего положения. Но если в системе π₁, π₂ обе проекции, например, треугольника представляют собой треугольник, то его плоскость может оказаться плоскостью общего положения или профильно-проецирующей: на рис. 112 — плоскость общего положения, а на рис. 127 — профильно-проецирующая. Определителем служит, как было сказано на с. 52 в пояснении к рис. 127, горизонталь (или фронталь): если ее проекции на π₁ и π₂ взаимно параллельны, то плоскость профильно-проецирующая (рис. 127); если же не параллельны, то плоскость общего положения (например, рис. 112, 115, слева).

Если проекция многоугольника на π₁ или на π₂ представляет собой отрезок прямой, то плоскость этого многоугольника соответственно перпендикулярна к π₁ или к я2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника горизонтально-проецирую- щая, на рис. 125 — фронтально-проецирующая.

Фигура, расположенная параллельно плоскости проекций, проецируется на нее без искажения. Например, все элементы треугольника CDE, изображенного на рис. 133, проецируются на пл. π₂ без искажения; круг, изображенный на рис. 140, проецируется на пл. π₁ без искажения. -

Если же плоскость фигуры не параллельна плоскости проекций, то для определения натурального вида (т. е. без искажения) этой фигуры применяют способы, указанные далее, в главе V. Конечно, можно было бы и теперь, не зная еще этих способов, построить, например, натуральный вид треугольника, изображенного на рис. 112, определив длину каждой его стороны как длину отрезка (см. § 13) и затем построив треугольник по найденным отрезкам. Вместе с тем определились бы и углы данного треугольника. Так поступают, например, при построении развертки

боковой поверхности пирамиды, призмы и др. (см. далее § 44). Если же многоугольник расположен в проецирующей плоскости, то можно построить его натуральный вид так, как показано на рис. 141.

Положим, требуется определить натуральный вид четырехугольника KPNM, расположенного в фронтально-проецирующей пл. α. Тогда, как это показано на рис. 141 справа, можно взять в плоскости фигуры две оси прямоугольных координат с началом хотя бы в точке К; ось абсцисс {К"Х", К'Х') параллельно пл. π₂, ось ординат перпендикулярно к π₂ (проекции этой оси K"Y", K'Y'), провести прямую KL (это можно сделать, например, параллельно К"Х") и отложить на ней К1 = = К"Р", К2 = К"М", КЗ = K"N". Затем на перпендикулярах к прямой KL в точках 1,2 и 3 отложим отрезки Р1 = Р'4, М2 = М'5 и N3 = N'6. Построенный таким образом четырехугольник KMNP представляет собой натуральный вид заданного.

При решении многих задач вопрос о том, какое положение занимает плоская фигура относительно плоскостей проекций, приобретает существенное значение. В качестве примера рассмотрим вопрос о построении четырех замечательных точек треугольника.

Так как делению отрезка прямой в пространстве пополам отвечает такое же деление проекций этого отрезка (см. § 12), то построение точки пересечения медиан треугольника ¹) может быть произведено на чертеже во всех случаях непосредственно. Достаточно (рис. 142) провести медианы на каждой из проекций треугольника, и точка пересечения его медиан будет определена. При этом можно ограничиться построением обеих проекций лишь одной из медиан (например, A'D' и A"D") и одной проекции второй медианы (например, В"E"); в пересечении A"D" и В"Е' получаем точку М", а по ней находим на A'D' точку М'.

Можно было бы также, построив лишь одну из медиан треугольника, найти на ней точку М на основании известного из геометрии свойства этой точки (она делит каждую медиану в отношении 2 : 1).

Построение точки пересечения трех высот треугольника ²) и точки перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через их середины ³), связано с проведением взаимно перпендикулярных прямых.

¹)Точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника.

²)Ортоцентр треугольника.

³)Центр описанной окружности.

В § 15 были указаны условия, при которых перпендикулярные отрезки в пространстве имеют своими проекциями также перпендикулярные отрезки, Если плоскость треугольника параллельна плоскости проекций (например, треугольник CDE на рис. 133), то, опустив перпендикуляры из точек С", D" и Е" на противоположные им стороны, получаем проекции высот треугольника, Но в треугольнике общего положения так поступить нельзя,

В частном случае, когда одна сторона треугольника параллельна пл. π₁; а другая параллельна пл, π₂ (рис, 143), проведя C"F" перпендикулярно к А"В" и В'Е' перпендикулярно к А'С', получаем в пространстве CF⊥АВ и BE⊥АС; точка пересечения высот оказалась построенной без каких-либо особых приемов.

В самом же общем случае для проведения на проекционном чертеже перпендикулярных линий приходится прибегать к особым приемам, которые будут изложены дальше.

Построение точки пересечения биссектрис треугольника¹) также может быть произведено непосредственно лишь в частных случаях расположения треугольника относительно плоскостей проекций. Это объясняется тем, что деление пополам проекции какого-либо угла отвечает его делению пополам в пространстве только в том случае, если стороны данного угла одинаково наклонены к той плоскости проекций, на которой производится деление пополам проекции угла (см. § 15).

При построении проекций какого-либо многоугольника необходимо обратить внимание на то, чтобы не нарушалось условие нахождения всех точек данной фигуры в одной плоскости

На рис. 144 даны полностью горизонтальная проекция некоторого пятиугольника ABCDE и фронтальные проекции только трех его вершин: А", В" и Е", Справа

на рис, 144 показано построение проекций остальных двух вершин, С" и D", пятиугольника, Чтобы точки С и D лежали в плоскости, определенной тремя точками А.

¹) Центр вписанной окружности.

В и Е, необходимо, чтобы они находились на прямых, лежащих в этой плоскости, Этими прямыми являются диагонали АС, AD и BE, горизонтальные проекции которых мы можем построить. На фронтальной проекции пятиугольника мы можем провести лишь В"Е", Но в плоскости пятиугольника лежат точки пересечения диагоналей К и М, горизонтальные проекции которых (К' и М') имеются, а фронтальные проекции получаются сразу, так как они должны лежать на В"Е". По двум точкам строятся фронтальные проекции и остальных двух диагоналей А"К" и А"М", на них должны лежать точки С" и D", которые определяются по их горизонтальным проекциям.

Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения (см, рис, 140, где круг взят в горизонтальной плоскости). Если плоскость круга расположена перпендикулярно к плоскости проекций, то на эту плоскость круг проецируется в виде отрезка прямой, равного диаметру круга,

Но если круг расположен в плоскости, составляющей с плоскостью проекций какой-либо острый угол φ, то проекцией круга является фигура, называемая эллипсом.

Эллипсом называется также кривая, ограничивающая эллипс-фигуру: если эллипс-фигура является проекцией круга, то эллипс-линия является проекцией окружности. В дальнейшем изложении, говоря об эллипсе, будем подразумевать проекцию окружности.

Эллипс относится к числу кривых, называемых кривыми второго порядка. Уравнения таких кривых в декартовых координатах представляют собой уравнения второго порядка. Кривая второго порядка пересекается с прямой линией в двух точках. Далее мы встретимся еще с параболой и гиперболой, тоже кривыми второго порядка.

Эллипс можно рассматривать как «сжатую» окружность. Это показано на рис, 145, слева, Положим, что на радиусе ОВ отложен отрезок ОВ₁ длиной b, причем b<а (т, е, меньше радиуса окружности). Если теперь взять на окружности какую-либо точку K и, проведя из K перпендикуляр на A₁A₂, отметить на KM точ-

ку так, чтобы МК₁:МК = b:а, то эта точка K₁ будет принадлежать эллипсу. Так можно преобразовать каждую точку окружности в точку эллипса, соблюдая одно и то же отношение b:а. Окружность как бы равномерно сжимается; линия, в которую при этом преобразуется окружность, является эллипсом. Отношение b:а называется коэффициентом сжатия эллипса. Если b приближается к а, то эллипс расширяется и при b = а превращается в окружность.

Напомним (из курса черчения средней школы), что

1. отрезок A₁,A₂ = 2а называется большой осью эллипса;
2. отрезок B₁,B₂ — 2b называется малой осью эллипса;
3. большая и малая оси взаимно перпендикулярны;
4. точка пересечения осей называется центром эллипса;
5. отрезок прямой между двумя точками эллипса, проходящий через центр эллипса, называется его диаметром;
6. точки А₁, A₂, В₁, В₂ называются вершинами эллипса;
7. эллипс симметричен относительно его осей и относительно его центра;
8. эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек F₁ и F₂ (рис, 145, справа) имеет одно и то же значение 2а (размер большой оси).

Из рассмотрения рис. 146 следует, что при повороте окружности вокруг диаметра А₁A₂ на угол φ₁ этот диаметр, параллельный пл. π₁, сохраняет в горизонтальной проекции свою величину и становится большой осью эллипса (см. рис. 146, справа). Диаметр же В₁, В₂ повернутый на угол φ₁ к пл. π₁, проецируется на нее с сокращением:

B'₁B'₂=B"₁B"₂cosφ₁

Это соответствует отношению осей эллипса, т. е. его коэффициенту сжатия.

Если в окружности провести какие-либо два взаимно перпендикулярных диаметра, то в проекции, представляющей собой эллипс (рис. 146, справа), проекции таких диаметров окружности оказываются диаметрами эллипса, называемыми сопряженными. Если в окружности (рис. 146, слева) провести, например, хорду M'₁N'₁, параллельную диаметру E'F', то диаметр C'D' разделит эту хорду (и все хорды, ей параллельные) пополам. Очевидно, что и в эллипсе сохранится это свойство (см. рис. 146, справа): диаметр C'D' делит хорду M'₁N'₁, параллельную диаметру E'F', сопряженному с CD', пополам. Но именно такие два диаметра эллипса, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому, являются сопряженными.

Сопряженные диаметры эллипса не перпендикулярны один к другому; исключение составляют оси эллипса, также являющиеся парой сопряженных диаметров.

Напомним, как производится построение эллипса по его осям (рис. 147, слева). Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей, проведенных радиусами а (большая полуось) и b (малая полуось). Если провести какой-либо радиус ОМ₁ и прямые М₁М₀ и ЕМ, параллельные малой и большой осям эллипса, то при пересечении этих прямых получится точка М, принадлежащая эллипсу. Действительно,

Проводя ряд радиусов и повторяя указанное построение, получаем ряд точек эллипса.

Построив какую-нибудь точку эллипса, можно построить еще три точки, расположенные симметрично найденной относительно осей эллипса или его центра.

На рис. 147 справа показано построение фокусов эллипса: засекая из точки В₁ большую ось дугой радиуса, равного большой полуоси ОА₁, получаем точки F₁ и F₂ — фокусы эллипса. Построив угол F₁KF₂, где К — любая точка эллипса, проводим в нем биссектрису и перпендикулярно к ней в точке К касательную к эллипсу. Прямая KN, перпендикулярная к касательной, является нормалью ¹) к эллипсу в точке К.

¹) От normalis (лат.) — прямолинейный.

Как построить оси эллипса, если известны его сопряженные диаметры?

Пусть получены сопряженные полудиаметры С А и СВ (рис. 148). Для построения осей эллипса:

1. один из сопряженных полудиаметров, например СВ, поворачиваем на угол 90° по направлению к другому (до положения СВ₂);
2. проводим отрезок АВ₂ и делим его пополам;
3. из точки К проводим окружность радиусом КС;
4. прямую, определяемую отрезком АВ₂, продолжаем до пересечения с этой окружностью в точках D и Е;
5. проводим прямую DC, получаем направление большой оси эллипса;
6. проводим ЕС — направление малой оси эллипса;
7. откладываем C₁ = АЕ — большая полуось;
8. откладываем СЗ = AD — малая полуось;
9. откладываем С2=С1, С4=СЗ, С5=СА, Сб = СВ.

Эллипс может быть проведен через восемь точек 1, А, 3, В, 2, 5, 4 и 6 или построен по большой и малой осям, как показано на рис. 147.

Итак, проведя прямые CD и СЕ, мы получили направления большой и малой осей эллипса; точка А, принадлежащая эллипсу, делит диаметр ED на два отрезка, из которых один (АЕ) равен большой полуоси этого эллипса, а другой (AD) — малой полуоси. Если (рис. 149)

взять оси координат х и у соответственно по прямым CD и СЕ и из точки А провести перпендикуляр AD к прямой CD, то координаты точки А могут быть выражены следующим образом:

х_a=АЕcosφ, у_a = ADsinφ.

Отсюда

Это уравнение эллипса, у которого АЕ — большая полуось, a AD — малая полуось.

----------

На рис. 146 было показано построение горизонтальной проекции окружности, расположенной в фронтально-проецирующей плоскости, наклоненной к пл. π₁. Пусть теперь в такой плоскости лежит эллипс с полуосями а и Ь. Его проекцией иногда может оказаться окружность с диаметром, равным малой оси эллипса: это будет тогда, когда для угла между плоскостью, в которой лежит эллипс, и пл. π₁ имеет место соотношение cos? =b/a (рис. 150).
Полученная окружность будет служить проекцией ряда эллипсов, если изменять угол φ и размер a, оставляя b неизменным. Представим себе прямой круговой цилиндр с вертикальной осью (рис. 151); наклонные сечения этого цилиндра будут эллипсами, малая ось которых равна диаметру цилиндра.

Вопросы к §§20-21

1. Как изображается на чертеже фронгально-проецирующая плоскость, проведенная через прямую общего положения?
2. Как построить проекции центра тяжести в заданном чертеже треугольника?
3. Что могут представлять собой проекции круга в зависимости от положения его плоскости относительно плоскости проекций?
4. Можно ли рассматривать эллипс как «сжатую» окружность?
5. Что такое коэффициент сжатия эллипса?
6. Имеет ли эллипс: а) оси симметрии, б) центр симметрии?
7. Какие диаметры эллипса называются: а) осями, б) сопряженными диаметрами?
8. Как по заданным сопряженным диаметрам эллипса построить его оси?