Решение метрических задач на аксонометрических проекциях

Между ортогональными и аксонометрическими проекциями существует зависимость, которая позволяет по ортогональным проекциям геометрической фигуры и заданному направлению аксонометрического проецирования построить треугольник следов и, наоборот, по заданной проекции треугольника следов определить направление аксоно-метрического проецирования. Связь между ортогональными и аксонометрическими проекциями позволяет преобразовать последние в проекции ортогональные и решать на них метрические задачи.

В тех случаях, когда геометрическая фигура Ф расположена в одной из координатных плоскостей или в плоскостях, параллельных координатным, для определения метрических характеристик фигуры Ф достаточно выполнить построения, переводящие плоскость фигуры в положение, совмещенное с плоскостью чертежа (или параллельное ей).

Геометрические построения, которые необходимо осуществить для совмещения координатной плоскости с плоскостью аксонометрической проекции, можно проследить на рис. 319. Пусть заданы аксонометрические оси х⁰, у⁰ и z⁰. Строим треугольник следов, для чего на оси х⁰ отмечаем произвольную точку X⁰_α. Через Х⁰_α проводим стороны треугольника Х⁰_αY⁰_α ⊥ z⁰, X⁰_αZ⁰_α ⊥ у⁰ и Z⁰_αY⁰_α ⊥ х⁰ . Прямые (Х⁰_αY⁰_α), (X⁰_αZ⁰_α), (Z⁰_αY⁰_α) являются следами картинной плоскости α на координатных плоскостях (X⁰_αY⁰_α) ≡ h⁰_0α, (X⁰_αZ⁰_α) ≡ f⁰_0α и (Z⁰_αY⁰_α) ≡ ω⁰_0α. Для совмещения плоскости хОу с плоскостью α необходимо повернуть ее вокруг горизонтального следа h⁰_0α. При этом точки X⁰_α и Y⁰_α плоскости хОу, как принадлежащие оси вращения h⁰_0α, не меняют своего положения во время вращения. Поэтому для определения совмещенного положения плоскости хОу достаточно повернуть точку О до ее совмещения с плоскостью α. Точка О⁰ при вращении вокруг оси h⁰_0α будет перемещаться по окружности с центром в точке С⁰. Эта окружность принадлежит плоскости γ ⊥ α.

Совмещенное положение точки О₀ находится в точке пересечения перпендикуляра к оси вращения h⁰_0α, проведенного через О⁰, и дуги окружности с центром в точке С⁰, радиусом С⁰Х⁰_α. Справедливость этого утверждения вытекает из того, что в натуре . Выполненные построения обеспечивают равенство , так как он образован хордами, опирающимися на диаметр. Для определения совмещенного с плоскостью α положения точки А, принадлежащей плоскости хОу, достаточно провести прямую а⁰ ⊃ (О⁰A⁰), найти ее совмещенное положение а₀ и на а₀ определить точку A₀ .

Совмещенное положение плоскостей xOz и yOz с аксонометрической плоскостью α находится аналогично рассмотренному случаю с той лишь разницей, что вращение плоскостей осуществляется соответственно вокруг осей f⁰_0α и ω⁰_0α

Проведение прямой, перпендикулярной к плоскости, является одной из основных метрических задач. Проследим, как может быть решена зга задача с помощью совмещения координатной плоскости с аксонометрической. Пусть требуется провести прямую l , перпендикулярную плоскости β и проходящую через точку О (рис. 320).

РЕШЕНИЕ.

1. Строим треугольник следов X⁰_αY⁰_αZ⁰_α, для чего на оси x⁰ отмечаем точку X⁰_α. При выборе положения точки Х⁰_α необходимо следить за тем, чтобы две стороны треугольника следов пересекали следы заданной плоскости β.

2. Определяем (А⁰В⁰) - линию пересечения плоскости β с плоскостью аксонометрии α [ (А⁰Вα) = β ∩ α].

3. (А⁰В⁰) - след плоскости β на плоскости α, поэтому аксонометрическая проекция перпендикуляра l⁰ будет перпендикулярна к (A⁰В⁰). Проводим l⁰ так, чтобы l⁰ ⊥ (А⁰В⁰) ∧ (l⁰ ∋ О⁰).

4. Чтобы построить вторичную проекцию перпендикуляра, совмещаем координатную плоскость хОу с плоскостью α (построения выполнены аналогично показанным на рис. 319). Совмещенное положение следа h⁰_0β0 определяется точками Х⁰_0β0. Из точки О₀ опускаем перпендикуляр O₀C⁰₀ на прямую h⁰_0β0. Зная положение С⁰₀, находим С⁰. Определяем вторичную аксонометрическую проекцию перпендикуляра l^{1 0}.

Следует иметь в виду, что решение метрических задач на аксонометрических проекциях сопряжено с определенными трудностями. Поэтому целесообразно при выявлении метрических характеристик геометрической фигуры, заданной в аксонометрических проекциях, перейти к заданию этой фигуры в ортогональных проекциях и решать задачу так, как это было рекомендовано в гл. VI.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какие проекции называются аксонометрическими?
2. Как производится переход от ортогональных координат к аксонометрическим?
3. Что такое треугольник следов?
4. Чему равны показатели искажения по аксонометрическим осям в прямоугольных изометрических и диметричес- ких проекциях?
5. Как определить аксонометрические оси, если задан треугольник следов ортогональных аксонометрических (изомет рических и диметрических) проекций?
6. Что такое аксонометрический масштаб?
7. Укажите коэффициенты искажения для большой и малой оси эллипса - аксонометрической проекции окружности, принадлежащей координатной плоскости (или параллельной ей) для изометрии и диметрии.
8. Сформулируйте теорему Польке.
9. В чем различие между прямоугольными и косоугольными аксонометрическими проекциями?