Точка в четвертях и октантах пространства

В § 4 было сказано, что плоскости π₁ и π₂ при пересечении образуют четыре двугранных угла; их называют квадрантами или четвертями пространства. На рис. 28 указан принятый порядок отсчета четвертей. Ось проекций делит каждую из плоскостей π₁ и π₂ на «по́лы» (полуплоскости), условно обозначенные π₁ и — π₁, π₂ и — π₂. Если, например, точка расположена во второй четверти, то горизонтальная проекция получается на — π₁ а фронтальная — на π₂.

В дальнейшем изложении за основу для построения чертежа точки в любой из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16).

Считают, что зритель всегда находится в первой четверти (условно — на бесконечно большом расстоянии от π₁ и от π₂). Плоскости проекций считают непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти, а также на полуплоскостях π₁ и π₂.

На рис, 13 дан чертеж для случая, когда точка расположена в первой четверти (рис. 29). Если точка одинаково удалена от π₁ И π₂, то А'А_х=А"А_х.

На рис. 30 показана точка В, расположенная во второй четверти, т. е. над — π₁ и сзади π₂ (рис. 29). Точка В ближе к π₂, чем к — π₁,: на чертеже В'В_х < В"В_х. Там же оказана точка С, одинаково удаленная от — π₁ и от π₂: проекции С" и С' совпадают между собой.

На рис. 31 дан чертеж для случая, когда точка D расположена в третьей четверти. Горизонтальная проекция получается над осью проекций, фронтальная проекция — под осью проекций. Так как D'D_х > D”D_х, то точка D расположена От — π₂ дальше, чем от π₁.

На рис. 32 даны точки Е и F, расположенные в четвертой четверти. Точка Е ближе к π₁( чем к — π₂ (рис. 29): Е"Е_х < Е'Е_х. Точка F одинаково удалена от — π₂ и от π₁: F'F_х= F"F_х.

На рис. 33 в системе π₁ π₂ изображены точки А и В, расположенные симметрично относительно пл. π₁. На чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные проекции

таких точек совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находятся на равных расстояниях от оси проекций: А"А_х = В"В_х.

В практике черчения имеет место применение первой и третьей четвертей пространства. Подробнее см. в § 41.

На рис. 27 было показано, что плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов — восемь октантов. Нумерация октантов указана на рис. 27. Как видно из рис. 28, четверти нумеруются как I —IV октанты.

Применяя для отсчета координат точки систему знаков, указанную на рис. 27, получим следующую таблицу:

Например, точка (—20; + 15; —18) находится в восьмом октанте. Совмещение плоскостей производится согласно рис. 34, т. е. пл. π₃ отводится против часовой стрелки, если смотреть на пл. π₁, по направлению от + z к О.

На рис. 34 даны также чертежи точек: A, расположенной в первом октанте, и G, расположенной в седьмом октанте; проекции одной и той же точки не могут наложиться одна на другую. Для остальных октантов две или все три (для второго и восьмого октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться наложенными друг на друга.

ВОПРОСЫ К §§6-7

1. Что такое прямоугольные декартовы координалы точки?
2. В какой последовательности записываются координаты в обозначении точки?
3. Что такое квадранты или четверти пространства?
4. Что такое октанты?
5. Какие знаки имеют координаты точки, расположенной в седьмом октанте?
6. В чем различие между «правой» и «левой» системами координат?
7. Чем различаются между собой чертежи точек, из которых одна расположена в первой четверти, а другая — в третьей?