Стандартные аксонометрические проекции

В инженерной практике, в частности в машиностроении, наибольшее распространение получили прямоугольные диметрические и изометрические проекции. Отметим некоторые свойства этих проекций.

1. Зависимость коэффициентов искажения по аксонометрическим осям от направления проецирования.

Установление зависимости между коэффициентами искажения и направлением проецирования представляет определенный практический интерес.

Картинная плоскость пересекает координатные оси в точках Х_α ≡ Х⁰_α, Y_α ≡ Y⁰_α, Z_α ≡ Z⁰_α, а плоскости проекций по прямым Х_αY_α, X_αZ_α, Y_αZ_α. Точки X_α, Y_α, Z_α определяют треугольник, называемый треугольником следов (рис. 307). Очевидно, ΔX_αY_αZ_α ≡ ΔX⁰_αY⁰_αZ⁰_α.

Опустим из начала координат О перпендикуляр на плоскость α. Точка О⁰, в которой этот перпендикуляр пересекает плоскость α, является прямоугольной проекцией точки О. Отрезки О⁰Х⁰_α, О⁰Y⁰_α и О⁰Z⁰_α - прямоугольные аксонометрические проекции отрезков координатных осей ОХ_α, OY_α, OZ_α. Треугольники ОО⁰Х⁰_α, OO⁰Y⁰_α, ОО⁰Z⁰_α - пря 208 моугольные, отрезки O⁰Х⁰_α, О⁰Y⁰_α, О⁰Z⁰_α - их катеты, а отрезки ОХ⁰_α, OY⁰_α, OZ⁰_α - гипотенузы этих треугольников. Отсюда

где α° , β°, γ° - углы наклона осей х, у, z к картинной плоскости.

Так как

k_y⁰ = cosβ°, k_z⁰ = cosγ°

В прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостью k²_x⁰ + k²_y⁰ + k²_z⁰ = 2

Изометрическая проекция. В прямоугольной изометрической проекции коэффициенты искажения по всем осям одинаковы:

следовательно, коэффициенты искажения но осям x⁰, у⁰, y⁰ равны 0,82.

Изометрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения (т. е. коэффициент искажения k = 1), что соответствует увеличению линейных размеров изображения по сравнению с действительными в 1,22 раза (1/0,82 ≈ 1,22).

Диметрическая проекция. Для прямоугольной диметрической проекции характерно равенство коэффициентов искажения по двум осям k_x⁰ = k_z⁰; коэффициент искажения по третьей оси k_y⁰ = 1/2k_x⁰ (или k_y⁰ = 1/2k_z⁰ ). Поэтому , т. е. коэффициент искажения по осям x⁰ и z⁰ равен 0,94, а по оси у⁰ = 0,47. Диметрическую проекцию, как и изометрию, выполняют, как правило, без искажения по осям x⁰ и у⁰ и с искажением k_y⁰ = 0,5 по оси у⁰. В этом случае увеличение линейных размеров изображения по сравнению с действительными происходит в 1/0,94 = 1,06 раза.

2. Определение углов между осями стандартных аксонометрических проекций.

Изометрическая проекция. Для прямоугольной (ортогональной) аксонометрии справедливо следующее утверждение: коэффициенты искажения по аксонометрическим осям равны косинусам углов наклона координатных осей к картинной плоскости (доказательство см. п. 1). Так как для изометрии k_x⁰ = k_y⁰ = k_z⁰ = 1, то отрезки О⁰X⁰_α = О⁰Y⁰_α = O⁰Z⁰_α. Это, в свою очередь, означает, что в прямоугольной аксонометрии треугольник следов равносторонний.

В теории ортогональных аксонометрических проекций доказывается, что аксонометрические оси являются высотами треугольника следов. Из элементарной геометрии известно, что в равностороннем треугольнике высоты попарно пересекаются между собой под углом в 120°. Поэтому совпадающие с ними аксонометрические оси в ортогональной изометрии образуют между собой углы в 120°. Обычно ось z° принимают вертикальной (рис. 308).

Диметрическая проекция. Для диметрической проекции характерно равенство двух коэффициентов искажения по осям х⁰ и z⁰, коэффициент искажения по третьей оси равен их половине:

k_x⁰ = k_z⁰ = 2k_y⁰.

Равенство k_x⁰ = k_z⁰ обеспечивает конгруентность отрезков О⁰X⁰_α = О⁰Z⁰_α, т. е. треугольник следов - равнобедренный (рис. 309). В этом треугольнике высота Y⁰_αA⁰, совпадающая с направлением аксонометрической оси y⁰, делит пополам сторону X⁰_αZ⁰_α; |Х⁰_αА⁰| = |А⁰Z⁰_α| = √2/2 .

Приняв |О⁰Х⁰_α| = |О⁰Z⁰_α| = 1, имеем X⁰_αZ⁰_α = √2 . Из ΔО⁰A⁰Z⁰_α определяем sinδ°:

что соответствует равенству угла = 48°35'. Тогда

∠X⁰_αO⁰Z⁰_α = 2∠δ° = 97°10'

Обычно при построении диметрических проекций ось z° располагают вертикально. Тогда треугольник следов и его высоты (аксонометрические оси) займут положение, показанное на рис. 309. В этом случае

Приближенно аксонометрические оси стандартной диметрии можно построить, если принять tg7°10' ≈ 1/8, a tg41°25' = 7/8. Тогда аксонометрические оси х⁰ и у⁰ проводят так, как это показано на рис. 310. Ось у⁰ может быть проведена так же, как продолжение биссектрисы ∠х⁰О⁰z⁰ .