Основные свойства развертки поверхностей

С позиции теории множеств поверхность и ее развертку следует рассматривать как два точечных множества.

Так как по определению развертка поверхности представляет собой плоскую фигуру, образованную из поверхности без разрывов и склеивания, то между отмеченными двумя множествами устанавливается взаимно-однозначное соответствие:

каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.

Фигура 1S2, образованная подмножеством точек, принадлежащих поверхности α, конгруентна фигуре 1S2₀, принадлежащей развертке α₀. Аналогично Δ2S3 ⊂ α ≅ 2₀S3₀ ⊂ α₀ и т. д. Отсюда следует, что расстояние между точками 1 и 2 или любыми другими точками, взятыми на фигуре 1S2, равно расстоянию между точками 1₀ и 2₀ фигуры 1₀S2₀. На основании этого можно сформулировать следующие свойства:

1.Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой, следствием чего является:

* К таким поверхностям относятся торсы, при этом особые точки, принадлежащие ребру возврата или вершине конической поверхности, во внимание не принимаются.

замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке *.

Рис. 291 дает наглядное представление о развертке как взаимнооднозначном преобразовании, сохраняющем равенство:

а) расстояний между точками;

б) углов между линиями;

в) площадей фигур.

Кроме перечисленных свойств, следует отметить также:

3. Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке (обратное утверждение не имеет смысла).

4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке.

5. Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической **.