О родственном соответствии и его применении к решению некоторых задач

Рассмотрим родственное соответствие фигур, расположенных в двух пересекающихся плоскостях или в одной плоскости, в системе параллельного проецирования.

На рис. 484 точки А₁ и В₁ плоскости β параллельно спроецированы по направлению, заданному стрелкой, на пл. α. Проецирующие прямые А₁А₂ и В₁В₂ определяют проецирующую плоскость, которая пересекает плоскости β и α по прямым СВ₁ и СВ₂, сходящимся на прямой MN в точке С.

Если взять в пл. β некоторую прямую А₁В₁ то проекция этой прямой на пл. α при своем продолжении встретит на линии пересечения плоскостей β и α саму прямую А₁В₁.

Параллельное проецирование точек пл. β на пл. α устанавливает между этими плоскостями некоторое соответствие: точке А₁ в пл. β соответствует точка ₂ в пл. α, тоцке В₁ — точка В₂ и т. д. Это соответствие обладает следующими основными свойствами:

1. каждой точке одной плоскости соответствует единственная точка другой плоскости (соответствие взаимно однозначное);
2. если на прямой, расположенной в одной плоскости, установлено наличие двух точек, соответствующих точкам прямой другой плоскости, то эти прямые соответствуют одна другой, причем каждой точке одной из этих прямых соответствует определенная точка другой прямой;
3. прямая одной плоскости пересекается с соответствующей ей прямой другой плоскости в точке, лежащей на линии пересечения плоскостей ¹);
4. прямая, по которой пересекаются обе плоскости, сама себе соответствует;
5. если прямые одной плоскости параллельны между собой, то и соответствующие им прямые другой плоскости параллельны между собой;
6. отношение двух отрезков в одной плоскости, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению соответствующих отрезков в другой плоскости.

Рассмотренное соответствие между двумя плоскостями, обладающее перечисленными свойствами, называется родственным соответствием или, короче, родством ²). На рис. 484 точки А₂ и В₂ родственны точкам А₁ и В₁; прямая А₂В₂ родственна прямой А₁В₁.

Если в пл. β взять какую-нибудь фигуру и в пл. α рассмотреть точки, родственные всем точкам этой фигуры, то совокупность последних дает на пл. α фигуру, родственную фигуре, взятой на пл. β.

¹) Если эти прямые параллельны линии пересечения плоскостей, то точка пересечения прямых является бесконечно удаленной.

²) Родственное соответствие является частным случаем аффинного соответствия двух плоскостей, изучаемого в высшей геометрии. Affinis (лат.) — смежный, соседний; affinitas — родство, свойство.

Прямая MN пересечения плоскостей называется осью родства.

На рис. 485 слева те же плоскости даны в совмещенном положении: пл. β вращением вокруг прямой MN совмещена с пл. α.

Если взять обратное направление вращения, то получим расположение совмещенных плоскостей, показанное на рис. 485 справа.

Если между плоскостями β и α в пространстве было установлено родственное соответствие, то и после совмещения этих плоскостей (рис. 485) между их точками, прямыми и фигурами будет также иметь место родственное соответствие, по своим свойствам совпадающее со свойствами родства, установленного при параллельном проецировании. Действительно,

в обоих случаях прямой линии соответствует прямая, точке на одной из прямых соответствует определенная точка на другой, отношение CA₁/A₁B₁ остается равным отношению CA₂/A₂B₂ и параллельность проецирующих прямых А₁А₂ и В₁В₂ (рис. 484) переходит в параллельность прямых A₁A₂ и B₁B₂ на рис. 485 при совмещении плоскостей.

Итак, вне зависимости от того, рассматриваем ли мы родственные прямые в пространстве или при совмещении плоскостей, родственные прямые пересекаются на оси родства и точки, соответствующие друг другу, лежат на прямых, параллельных между собой.

Направление прямой A₁A₂ теперь уже не является направлением проецирования (как на рис. 484); будем называть его направлением родства.

Если на чертеже двух совмещенных плоскостей даны ось родства и две точки, родственные друг другу, то для каждой другой точки в данном родстве может быть найдена родственная точка. Положим (рис. 486), что прямая MN есть ось родства, точки A₁ и A₂ — родственные точки и, следовательно, A₁A₂ есть направление родства. Требуется для точки B₂ найти родственную точку. Проводим прямую В₂A₂ до пересечения с MN; через точки

С и A₁ (см. рис. 485) проводим прямую, на которой и находим точку В₁ родственную точке В₂ , проводя прямую В₂В₁ параллельно А₂ А₁ . Умея строить родственные точки, можно построить фигуру, родственную любой заданной фигуре.

Если заданная фигура — многоугольник, то родственная ей фигура тоже многоугольник с тем же числом сторон, и для его построения достаточно найти точки, родственные вершинам, и соединить их прямолинейными отрезками. Если же заданная фигура криволинейная, то построение родственной ей фигуры производится по нескольким ее точкам; через полученные точки проводится кривая.

Рассматривая фигуру, родственную заданной фигуре, мы замечаем, что величина углов вообще не сохраняется (см., например, рис. 491: углы четырехугольника A'B'C'D' не равны соответствующим им углам в родственном четырехугольнике АBCD).

Однако при заданной оси родства MN (рис. 487), паре родственных точек А₁ и А₂ и паре родственных прямых А₁М₁и А₂М₁. проходящих через эти точки, можно построить еще одну пару родственных прямых A₁N₁ и А₂N₁ , так, что угол M₁A₁N₁ будет равен углу М₁A₂N₁ . Из точки А₂ проведен перпендикуляр к прямой MN и построена точка А₃ так, что А₂К = КА₃, Через точки А₁, А₃ и М₁ проведена окружность, которая пересекает прямую MN еще в точке N₁. Дальнейшее ясно из чертежа.

В родственном соответствии двух плоскостей, заданных осью и двумя родственными точками А₁ и А₂, можно построить два взаимно перпендикулярных направления одной из плоскостей, соответствующих двум взаимно перпендикулярным направлениям другой плоскости. Такие направления называются главными в данном родственном соответствии. Построение показано на рис. 488. Отрезок прямой А₁А₂ разделен пополам в точке К, и через

эту точку проведен перпендикуляр к А₁А₂ до пересечения с MN в точке С. Из точки С проведена окружность через точки A₁ и А₂. Получены две пары родственных прямых: А₁М и А₂М, A₁N и A₂N. Углы MA₁N и MA₂N прямые.

Фигура, родственная окружности, будет вообще эллипсом, причем взаимно перпендикулярные диаметры окружности переходят в сопряженные диаметры эллипса.

На рис. 489 изображены ось родства MN и две родственные точки С₁ и С₂, причем точка C₁ является центром заданной окружности. Направление родства С₁С₂ расположено перпендикулярно к оси. Построена фигура, родственная окружности,— эллипс с центром С₂. Полуоси эллипса А₂С₂ и В₂С₂ получены как прямые, родственные двум взаимно перпендикулярным радиусам A₁C₁ и В₁С₁. В данном случае прямой угол А₂С₂К, родственный прямому углу А₁С₁К, получен проведением прямой А₂С₂||MN, так как С₁A₁||MN.

На рис. 490 показано построение полуосей А₂С₂ и В₂С₂ эллипса, родственного окружности с центром С₁, когда направление родства С₁С₂ не перпендикулярно к оси родства. Применено вспомогательное построение по рис. 488 для нахождения главных направлений МС₁ и NC₁, МС₂ и NС₂, которые определяют направления тех взаимно перпендикулярных диаметров окружности, которые преобразуются в оси эллипса (на рис. 490 показано построение только полуосей А₂С₂ и В₂С₂).

Если взять некоторую плоскость общего положения в системе плоскостей π₁, π₂ и π₃, то между плоскостью α и каждой из плоскостей проекций имеет место упомянутое выше родственное соответствие, так как ортогональное проецирование есть частный случай общего параллельного проецирования. Следы плоскости а будут осями родства; след h'_0α — для плоско

стей α и π₁, след f"_0α — для α и π₂; след p'"_0α — для α и π₃. Прямая, расположенная в пл. α, и каждая из ее проекций пересекаются на соответствующих следах плоскости, т. е. на осях родства.

На рис. 491 выполнено построение четырехугольника АBCD(натурального его вида) как фигуры, родственной проекции А'В'С'D'. След h'_0α фронтально-проецирующей плоскости, в которой находится данный четырехугольник, служит осью родства; направление родства перпендикулярно к h'_0α. Находим обычным путем (способ совмещения) точку C, родственную точке С', а затем строим точки АBDпо схеме, указанной на рис. 486.

Рис. 492 показывает, что между горизонтальной и фронтальной проекциями всякой плоской фигуры (в данном случае треугольника) существует родственное соответствие.

Прежде всего отмечаем, что прямые, соединяющие точки А' и А", В' и В", С' и С", параллельны между собой. Далее следует установить, что любые две прямые, соответствующие одна другой, пересекаются на одной и той же прямой. Продолжим до пересечения прямые А'В' и А"В". Точка М₂ представляет собой одновременно горизонтальную и фронтальную проекции точки, принадлежащей прямой АВ в пространстве. Совпадение проекций показывает, что эта точка находится на равных расстояниях от плоскостей π₁ и π₂.

То же можно сказать и относительно точек М₁ и М₃. Равноудаленность точек от плоскостей π₁ и π₂позволяет заключить, что точки эти, принадлежа плоскости треугольника АВС, находятся в то же время в плоскости, делящей второй и четвертый углы (четверти) пространства пополам.

На рис. 492 эта плоскость выражена следом p"'_0β - Так как рассматриваемые точки одновременно должны принадлежать двум плоскостям — пл. β и плоскости треугольника АВС, то очевидно, что они должны лежать на линии пересечения плоскости треугольника АВС и пл. β. Прямая эта, находясь в плоскости, делящей второй и четвертый углы (четверти) пространства пополам, изобразится на плоскостях π₁ и π₂ одной и той же прямой (горизонтальная и фронтальная проекции совпадают), а следовательно, точки М₁ , М₂ и М₃ расположены на одной прямой, которая и служит осью родства. Проекции любой прямой, лежащей в плоскости треугольника АВС, пересекаются на найденной оси родства ¹).

¹) Если прямая расположена в плоскости треугольника АВС и параллельна оси родства, то она пересекается с осью родства в бесконечности; обе ее проекции параллельны оси родства.

Итак, проекции А'В'С и А"В"С" родственны; направление родства перпендикулярно к оси х, ось родства располагается вообще под некоторым углом к оси х. В случае, если плоскость данной фигуры проходит через ось х, то ось родства горизонтальной и фронтальной проекций совпадает с осью х.

Для горизонтальных и фронтальных проекций всех фигур, расположенных в одной и той же плоскости, получается общая ось родства; действительно, эта ось представляет собой совпавшие горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения некоторой плоскости с постоянной плоскостью β (рис. 492).

На рис. 493 родственное соответствие применено для построения горизонтальной проекции четырехугольника, если известна его фронтальная проекция A"B"C"D" й горизонтальные проекции трех вершин (точки А', В', С).

Прежде всего найдены точки М₁ и М₂ и тем самым определена ось родства. Затем прямая A"D" продолжена до пересечения с осью родства и полученная точка М₃ соединена прямой с точкой А'.

Искомая точка D' получится в пересечении прямой А'М₃ и линии связи D”D'. Остается соединить между собой прямыми точки А' и D', точки С' и D'.

На рис. 494 слева родственное соответствие применено для отыскания проекций точки пересечения прямой EF с плоскостью, заданной двумя параллельными прямыми АВ и CD.

Задача сводится к отысканию на прямых E'F' и E"F" точек, являющихся родственными друг другу в данном родственном соответствии. Это соответствие определяется любыми двумя родственными точками (на рис. 494 взяты точки G' и G") и осью родства, проведенной через точки М₁ и М₂, которые найдены в пересечении прямых А'В' и А”В", C'D' и C"D". Если, далее, построить прямую, родственную прямой E”F", то мы тем самым в плоскости, заданной прямыми АВ и CD, проведем некоторую новую прямую, находящуюся в то же время в одной плоскости с данной прямой EF (общая фронтальная проекция E"F").

Построение прямой, родственной прямой E"F" выполнено следующим образом: пользуясь родственными точками G' и G" и произвольно выбранной точкой I" на прямой E"F",

строим точку I', родственную точке I" если, далее, найти точку М₃ и провести через нее и через точку I' прямую, то определится прямая, родственная прямой E"F". Остается отметить точку K', в которой прямые I'₃ и E'F' пересекают друг друга, Эта точка К' является горизонтальной проекцией искомой точки пересечения.

На рис. 494 справа показано решение той же задачи, но приемом, изложенным в § 25; через прямую EF проведена плоскость β, построена прямая с проекциями 1"2" и 1'2', по которой пл. β пересекает заданную плоскость, получена проекция К' искомой точки, а по ней — проекция К". Это построение проще показанного на рисунке слева.

Но в примере, приведенном на рис. 495, применение родственного соответствия позволяет построить оси эллипса (что не было сделано на рис. 364 — 366 в § 56), не прибегая к переходу от его сопряженных диаметров к осям.

Не объясняя нахождения ряда точек эллипса — фронтальной проекции сечения цилиндра плоскостью (это было сделано в § 56), остановимся здесь лишь на построении осей эллипса.

Проекции фигуры сечения — эллипс и окружность — родственны при направлении родства, перпендикулярном к оси х. Ось родства — прямая MN — строится при помощи родственных между собою в том же родстве проекций К"О” и К'О', а также хотя бы следа f"_0α и оси х: найдя точку К₁ и проведя через нее и через Х_α прямую, получаем ось родства. Теперь приемом, показанным на рис. 490, находим взаимно перпендикулярные направления — для фронтальной проекции NO" и МO” и для горизонтальной проекции NО' и МО', а по точкам 3' и 4' — вершины эллипса 3" и 4" на большой его оси и по точкам 5' и 6'— вершины 5" и 6" на малой оси.

На рис. 496 рассмотрен случай пересечения наклонного конуса плоскостью, причем последняя задана пересекающимися прямыми АВ и ВС.

Ось родства, определяющая совместно с парой родственных точек, хотя бы А' и А”, родственное соответствие, проходит через точки M₁ и М₂ пересечения проекций А'В' и А"В", В'С' и В"С". Направление родства перпендикулярно к оси х.

Так как искомое сечение конуса будет находиться в плоскости, определяемой прямыми АВ и ВС, то задача сводится к отысканию на проекциях конуса ряда пар родственных точек в данном родстве.

Строим точку S'₁, родственную точке S" (при помощи пары родственных точек D' и D" и точки М₃ на оси родства).

Если продолжить фронтальные проекции образующих конуса до пересечения с осью родства в точках N₁, N₂, N₃ и т. д. и затем соединить все эти точки с точкой S'₁, прямыми, то определится ряд прямых, расположенных в данной плоскости; проекции этих прямых родственны между собой.

Взяв точку в пересечении горизонтальной проекции образующей с той горизонтальной проекцией S'₁N₁, S'₁N₂ и т. д., которая родственна фронтальной проекции этой образующей,

мы получим горизонтальную проекцию точки, принадлежащей фигуре сечения конуса данной плоскостью. Например, точка К' получилась в пересечении прямых S'₁N₁ и S'₁; находим соответственную фронтальную проекцию К". Следовательно, найдена точка К, которая лежит на образующей конуса и в то же время находится в данной плоскости.

Находя подобным способом ряд точек, получаем возможность построить эллипсы, представляющие собой проекции линии сечения.

Вопросы к § 76

1. Каковы основные свойства соответствия между двумя пересекающимися плоскостями при параллельном проецировании?
2. Как называется такое соответствие?
3. Что такое ось и направление родства?
4. Какие направления называются главными в данном родственном соответствии?
5. Какая фигура родственна окружности?
6. Как строятся оси эллипса, родственного заданной окружности, когда направление родства не перпендикулярно к оси родства?
7. Как доказать, что между фронтальной и горизонтальной проекциями всякой плоской фигуры существует родственное соответствие?
8. В каком случае ось родства фронтальной и горизонтальной проекций плоской фигуры совпадает с осью проекций π₂/π₁ ?