Применение способа вращения без указания на чертеже осей вращения, перпендикулярных к плоскости π₁ или π₂

Раньше (см. § 35) мы видели, что если вращать отрезок прямой линии или плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине — меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Что же касается другой проекции — на плоскости, параллельной оси вращения, то все точки этой проекции (за исключением, конечно, проекций точек, расположенных на оси вращения) перемещаются по прямым, параллельным оси проекций, и проекция вообще изменяется по форме и по величине. Пользуясь этими свойствами, можно применить способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения и не устанавливая величины радиуса вращения; достаточно лишь, не изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры, переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую проекцию так, как указано выше.

Например, задавшись целью повернуть отрезок АВ прямой общего положения (рис. 222) так, чтобы он оказался перпендикулярным к пл. π₁ начинаем с поворота вокруг оси, перпендикулярной к пл. π₁, до положения, параллельного пл. π₂, но эту ось на чертеже не указываем. Так как при таком повороте горизонтальная проекция отрезка не изменяет своей величины, то проекцию А'B' берем равной А'В' и располагаем параллельно оси х, что соответствует параллельности самого отрезка пл. π₂.

Найдя соответствующую фронтальную проекцию отрезка (А"B"), выполняем второй поворот, теперь вокруг оси, перпендикулярной к пл. π₂, до искомого положения-перпендикулярности АВ к пл. π₁. И эту ось на чертеже не изображаем. Располагаем проекцию А"B", равную А"B", перпендикулярно к оси х. Горизонтальная проекция отрезка выражается точкой с двойным обозначением — А'B'.

Итак, выполненные операции соответствуют поворотам вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций, но оси эти не указаны. Конечно, их можно найти. Например, если провести прямые — одну через точки А' и А', другую через В' и B', затем провести перпендикуляры в серединах отрезков А'А' и В'B', то полученная точка пересечения этих перпендикуляров и будет горизонтальной проекцией оси вращения, перпендикулярной к пл. π₁. Но, как видно, необходимости в этом нет.

На рис. 223 показаны две стадии поворота ΔАВС, расположенного в плоскости общего положения, с целью получения натурального вида этого треугольника. Действительно, он в последнем своем положении параллелен пл. π₁ и, следовательно, проекция А'B'C' представляет собой натуральный вид треугольника. Но чтобы получить такое положение, надо предварительно повернуть плоскость общего

положения, в которой расположен треугольник, так, чтобы эта плоскость оказалась перпендикулярной к пл. π₂. А для этого надо взять горизонталь в ΔАВС и повернуть ее до перпендикулярности к пл. π₂; тогда и треугольник, содержащий эту горизонталь, окажется перпендикулярным к пл.π₂.Так как построение производится без указания осей вращения, то проекцию А'В'С располагаем произвольно, но так, чтобы горизонталь оказалась перпендикулярной к пл. π₂; для этого проекцию горизонтали АС направляем параллельно хотя бы линии связи А"А' (чертеж выполнен без оси проекций). При этом повороте подразумевается ось вращениπ₁ перпендикулярная к пл. поэтому горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и величину (А'B'C'=А'В'С ), изменяется лишь ее положение. Так, точки А, В и С при таком повороте перемещаются в плоскостях, параллельных пл. π₁; проекции B", А" и C" находятся на горизонтальных линиях связи А"А", В"B" и С"C".

При втором повороте, приводящем треугольник в параллельное пл. π₁ положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к пл. π₂. Теперь фронтальная проекция при повороте сохраняет вид и величину, полученные во второй стадии поворота, точки A, B и C перемещаются в плоскостях, параллельных пл. π₂, проекции A', B' и C' находятся на горизонтальных линиях связи с точками A', B' и C'.

Проекция A'B'C' передает натуральный вид и натуральную величину треугольника АВС.

При таком способе, во-первых, несколько упрощаются построения и, во-вторых, не происходит наложения проекций одной на другую, однако чертеж занимает большую площадь ¹).

Еше один пример вращения без изображения осей дан на рис. 224 и 225.

На этих рисунках показаны последовательный поворот куба и выведение его в положение, когда диагональ АВ расположится перпендикулярно к пл. π₂.

¹) Для рассмотренного случая вращения, а именно без изображения осей вращения, встречается название «способ плоскопараллельного перемещения».

Сначала вращением вокруг оси, перпендикулярной к пл. π₁ куб поставлен так, что диагональ АВ оказалась в профильной плоскости (рис. 224). Из этого положения куб переведен в третье, при котором диагональ АВ оказывается перпендикулярной к пл. π₂ (рис. 225). Это достигнуто поворотом куба вокруг оси, перпендикулярной к пл. π₃¹).