Способ перемены плоскостей проекции

Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей проекций ²) заключается в том, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система π₁, π₂ дополняется плоскостями, образующими с π₁, или π₂, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

¹) Мы применяем распространенное название «перемена плоскостей проекций», но на самом деле плоскости проекций π₁ и π₂ остаются и лишь вводятся дополнительные плоскости проекций.

²)Впервые на русском языке способ перемены плоскостей проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге «Начертательная геометрия», 1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.

Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее удобное для выполнения требуемого построения.

В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например π₃⊥π₁ или π₄⊥π₂ при этом пл. π₃ окажется горизонтально-проецирующей, а пл. π₄ — фронтально-ироецирующей. Если введение одной плоскости, π₃ или π₄, не позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость π₃⊥π₁, получают первую новую систему — π₃,π₁, а затем от этой системы переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. π₄⊥π₃. При этом пл. π₄ оказывается плоскостью общего положения в основной системе π₁, π₂. Таким образом, производится последовательный переход от системы π₁, π₂ к системе π₃, π₄ через промежуточную систему π₃, π₁

Если плоскости π₃ и π₄ все же не разрешают вопроса полностью, можно перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную к π₄.

При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы плоскостей π₁ и π₂ (см. § 7).

Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что черта лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы числитель и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону оси, где должны размещаться соответствующие проекции.

Введение в систему π₁, π₂ одной дополнительной плоскости проекций. В большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему π₁, π₂ в качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию, отвечающему цели построения. Примером может служить пл. π₃ на рис. 77: так как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и пл. π₁, то пл. π₃ была расположена перпендикулярно к пл. π₁ (образовалась система π₃, π₁) и || АВ.

На рис. 202 также выбор пл. π₃ подчинен цели — определить угол между прямой CD и плоскостью проекций π₂. Поэтому π₃⊥π₂ и в то же время пл. π₃ параллельна прямой CD (ось π₃/π₂ || C"D"). Кроме искомого угла φ₂ определилась и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"').

И в случае, изображенном на рис. 203; выбор пл. π₃ вполне зависит от задания: определить натуральный вид ΔАВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником. перпендикулярна к пл. π₂, то для его изображения без искажения надо ввести в систему π₁, π₂ дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: π₃ ⊥π₂ (для образования системы π₂, π₃) и π₃||АВС (что дает возможность изобразить ΔАВС без искажения). Новая ось π₂/π₃ проведена параллельно проекции А"С"В". Для построения проекции А"'В'"С"' от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек А'. В' и C' от оси π₂/яπ₁. Натуральный вид ΔАВС выражается новой его проекцией А"'В"'С"'.

Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. π₃ не уточнен и она может быть любой горизонтально-проецирующей, или фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения — получить проекции точки пересечения двух профильных прямых АВ и CD, лежащих в общей для них профильной плоскости ¹). На рис. 204 показана горизонтально-прое- цирующая пл. π₃ в качестве дополнительной плоскости проекций.

Взаимное положение новых проекций А'"В"' и C'"D'" определяет взаимное положение заданных прямых: в данном случае прямые пересечения на пл. π₃ является точка К'"; ней находим проекции К' и К".

Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например, преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе π₁, π₂, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций. Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость π₃ проведена так, что плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, стала перпендикулярной к пл. π₃. Как же это получено?

В треугольнике АВС проведена горизонталь AD. Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к пл. π₁ (так как AD||π₁). Этому удовлетворяет пл. π₃, ΔАВС проецируется на нее в отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рис. 206), то пл. π₃ следует провести перпенди-

¹) То, что прямые АВ и CD пересекаются, следует из сравнения положений точек А и В, С и D.

кулярно к следу h'_0α, т. е. к линии пересечения пл. α и пл.π₁. Тем самым пл. π₃ окажется перпендикулярной к пл.π₁ (т. е. явится дополнительной плоскостью проекций) и к пл. α. Теперь надо построить след пл. α на пл. π₃. Так как α⊥π₃, то проекция на пл. π₃ любой точки пл. α получится на прямой пересечения пл. α с пл. π₃, т. е. на следе α'". На рис. 206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"_0α; построена ее проекция N"' (N"'1=N"N'), через которую, а также через точку пересечения следа h'_0α с осью π₃/π₁, проходит след α'".

кулярно к следу h'_0α, т. е. к линии пересечения пл. α и пл.π₁. Тем самым пл. π₃ окажется перпендикулярной к пл.π₁ (т. е. явится дополнительной плоскостью проекций) и к пл. α. Теперь надо построить след пл. α на пл. π₃. Так как α⊥π₃, то проекция на пл. π₃ любой точки пл. α получится на прямой пересечения пл. α с пл. π₃, т. е. на следе α'". На рис. 206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"_0α; построена ее проекция N"' (N"'1=N"N'), через которую, а также через точку пересечения следа h'_0α с осью π₃/π₁, проходит след α'".

Построения на рис. 205 и 206 приводят к получению утла φ₁ наклона заданных плоскостей к пл. π₁. Если же взять пл. π₃ (рис. 207), перпендикулярную к пл. π₂ и к плоскости, заданной треугольником АВС (для чего надо провести ось π₂/π₃ перпендикулярно к фронтали этой плоскости), то определится угол φ₂ наклона плоскости АВС к пл. π₂.

Введение в систему π₂ двух дополнительных плоскостей проекций. Рассмотрим введение в систему π₁, π₂ двух дополнительных плоскостей проекций на следующем примере.

Пусть требуется заданную в системе π₁, π₂ прямую общего положения АВ расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций. Можно ли достигнуть этого введением лишь одной дополнительной плоскости? Нет. Ведь такая плоскость, будучи перпендикулярной к прямой общего положения, сама в системе π₁, π₂ окажется плоскостью общего положения, т. е. не перпендикулярной ни к π₁ ни к π₂. Но этим нарушится условие введения дополнительных плоскостей проекций (см. с. 22).

Как же обойти это препятствие и применить все же способ перемены плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от системы π₁, π₂ перейти к системе π₃, π₁ в которой π₃⊥π₁ и π₃||АВ, а затем перейти к системе π₃, π₄, где π₄⊥π₃ π₄⊥АВ (рис. 208). Соответствующий чертеж дан на рис. 209. Дело сводится к последовательному построению проекций А'" и А^IV точки А, В'" и B^IV точки В. Прямая общего положения в системе π₁, π₂ оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций π₄ с переходом через промежуточную стадию параллельности по отношению к первой дополнительной плоскости π₃. Так как пл. π₃ расположена параллельно прямой АВ, то расстояния точек A и В от пл. π₃равны между собой и выражаются, например, отрезком А'2; взяв ось π₃/π₄ перпендикулярно к А"'В"' (что соответствует в пространстве перпендикулярности пл. π₄ к прямой АВ) и отложив отрезок A^IV3, равный А'2, получаем обе проекции, A^IV и B^IV в одной точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ⊥π₄.

На рис. 210 дан пример построения натурального вида ΔАВС. Здесь также введены две дополнительные плоскости проекций π₃ и π₄, но по такой схеме: π₃⊥π₁ и π₃⊥АВС, а π₄⊥π₃, а π₄||АВС. Заключительная стадия построения свелась к проведению пл. π₄|| пл. АВС (так как требовалось определить натуральный вид ΔАВС); промежуточной стадией была перпендикулярность дополнительной плоскости π₃ к пл. АВС. Эта промежуточная стадия повторяет построение, показанное несколько раньше на рис. 205. В заключительной стадии построения на рис. 210 ось π₃/π₄|| С"'A"'B"', т. е. пл. π₄ проведена параллельно пл. АВС, что и приводит к определению натурального вида, выражаемого A^IVB^IVC^IV.

Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости ΔАВС и пл. π₄, потребовалось предварительно расположить взаимно перпендикулярно ΔАВС и пл. π₃. Наоборот, в примере на рис. 209, чтобы получить перпендикулярность (АВ⊥π₄), предварительно потребовалось положение параллельности (АВ||π₃).

Вопросы к §§ 32-33

1. Какие способы преобразования чертежа рассматриваются в главе V?
2. В чем заключается основное различие этих способов?
3. В чем заключается способ, известный под названием «способ перемены плоскостей проекций»?
4. Какое положение в системе π₁,π₂ должна занять плоскость проекций π₃, вводимая для образования системы π₃, π₁?
5. Какое положение в системе π₁, π₂ займет плоскость проекций π₄ при последовательных переходах от π₁, π₂ через π₃, π₁ к π₃, π₄?
6. Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с плоскостями π₁ и π₂, вводя дополнительные плоскости проекций?
7. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему π₁ π₂, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к пл. π₁, или к пл. π₂?
8. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему π₁, π₂, чтобы заданная прямая общего положения оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций?
9. Тот же вопрос, но в отношении получения натурального вида фигуры, плоскость которой есть плоскость общего положения.