Развертывание цилиндрических и конических поверхностей

Развертывание боковой поверхности прямого кругового цилиндра, известное из стереометрии, было показано на рис. 305. У получаемого при этом прямоугольника основание равно развернутой окружности (πd), а высота равна высоте цилиндра. На рис. 362 изображена развертка поверхности прямого кругового цилиндра с плоским срезом по эллипсу. Здесь в основе лежит нормальное сечение цилиндрической поверхности вращения — окружность. Она развернута в прямую; эта прямая разделена на некоторое число равных частей, соответствующее делению окружнссти на рис. 361. Далее применена схема развертывания поверхности призмы. Здесь цилиндрическая поверхность как бы заменена вписанной в нее поверхностью призмы, ребра которой равны отрезкам образующих цилиндрической поверхности ¹). Теоретическая развертка цилиндрической поверхности тем точнее, чем больше граней у призмы, вписанной в цилиндр, и чем меньше каждый из отрезков ломаной линии, ограничивающей развертку призматической поверхности ²).

Развертывание конической поверхности в общем случае производится по схеме развертывания поверхности пирамиды. На рис. 308 для развертывания боковой поверхности прямого кругового конуса было использовано известное из стереометрии построение с подсчетом угла сектора, представляющего собой искомую развертку (φ =RL ·360°, где R — радиус основания конуса, L — длина его образующей).

Теперь рассмотрим построение развертки боковой поверхности наклонного конуса с круговым основанием (рис. 439).

Окружность основания заменена многоугольником со сторонами А₁А₂, А₂А₃ и т. д., а коническая поверхность — поверхностью пирамиды с треугольными гранями SA₁A₂, SA₂A₃ и т. д. В развернутом состоянии поверхность представляет собой совокупность этих треугольников.

Определив (способом вращения) длину отрезка SA₁ — отрезок S"А₁ и длину отрезка SA₂ — отрезок S"А ₂, строим треугольник по трем его сторонам S"А ₁ S"А₂ и А'₁А'₂ (хорда), затем строим второй треугольник, S"А₂А₃, для чего определяем длину отрезка SA₃ — отрезок S"А₃ и берем хорду А'₂А'₃ и т. д. Получаем точки А₁А₂ и т. д., через которые проводим плавную кривую.

Если на развертке надо найти точку, заданную на поверхности, например М (М", М'), то через эту точку проводят образующую S"K", S'K', находят ее положение на развертке (S"K) и откладывают на S"K отрезок, S"M. Чтобы построить

¹) Замену одной поверхности другою, более простой, или кривой линии ломаной, приближенно выражающей первую, называют аппроксимацией (от лат. approximare — приближаться), означающей в математике приближенное выражение каких-либо величин (или геометрических объектов) через другие, более известные.

²) При большом числе построений возникают неточности, влияющие на общую точность результата.

S"K на развертке, надо засечь кривую A₁A₂A₃... из точки A₃ дугой радиуса А'₃К' и провести через полученную точку K и точку S" прямую. Отрезок же S"M представляет собой натуральную величину отрезка S"M", S'M', полученную при повороте отрезка S"M", S'M' в положение S"l", S'l'. Получаем S"M=S"l".

Может быть поставлена и обратная задача: построить проекции точки М, заданной на развертке (M). В этом случае надо начать с проведения на развертке через M отрезка S"К, найти на окружности основания конуса точку К' по равенству отрезков A₃K и А'₃К'. Построив проекции S'K' и S"K" образующей, находим в проекциях отрезок SM, для чего отрезок SK путем поворота выводим в положение, когда он проецируется без искажения (например, параллельно плоскости π₂), откладываем в этом положении длину S"MM отрезка (S"1" = S"M) и возвращаем его в начальное положение.

На рис. 440'показано построение развертки боковой поверхности усеченного конуса при условии, что конус не может быть достроен до полного ¹).

Строится вспомогательный конус, подобный заданному. Целесообразно выбрать диаметр основания этого конуса (d) так, чтобы отношение Dd выражалось целым числом (k). Вспомогательный конус может быть построен, как показано на рис. 440, или вне усеченного.

Далее строится развертка боковой поверхности вспомогательного конуса — сектор S₀A₀A₀₁, выбирается произвольно точка К, из нее проводят лучи КА₀, К1₀, К2₀, К3₀ соответственно делениям дуги А₀А₀₁ и на них откладывают отрезки KA₁=k·KA₀, К1₁=k·К1₀, К2₁=k·К2₀, К3₁ =k·K3₀, где коэффициент k = Dd. Через точки A₁, 1₁, 2₁ проводят прямые,соответственно параллельные S₀A₀, S₀1₀, S₀2₀, и на этих прямых откладывают отрезки А₁А₂ = l, 1₁1₂ = l,2₁2₁ = l, Так же откладывается 3₁3₂ = l. Теперь надо провести лекальные кривые через точки А₁, 1₁, 2₁, 3₁ и через точки А₂, 1₂, 2₂, 3₂.

Вторая половина развертки может быть построена так же, как первая, или на основании симметрии относительно оси S₀3₁

На рис. 441 дан вариант построения развертки ²). Так же, как и на рис. 440, взят вспомогательный конус (на рис. 441 отношение Dd равно трем) и построена его развертка (показана ее половина). Далее, из точки К₀ проведено несколько лучей — через точки А₀, 1₀, 2₀, ... и прямая К₀М под углом ≈ 45° к K₀A₁. На этой прямой взяты точки L и М так, чтобы К₀М: K₀L равнялось трем (т. е. взятому отношению между D и d). Теперь проведены отрезки LA₀, Ll₀, L2₀,,.., а через точку М — прямые МA₁||LA₀, M1₁||L1₀, ... В пересечении этих прямых с лучами К₀А₀, К₀1₀, ... получаются точки A₁, 1₁, 2₁ ..., через которые надо провести A₁A₂||S₀A₀, 1₁1₂|| S₀1₀, ... и отложить A_lA₂ = 1, 1₁1₂ = 1 и т. д., а также К₀В₀ = 1.

Теперь остается провести по лекалу кривые через точки А₁, 1₁, 2₁, ... и через точки А₂, 1₂, 2₂, ... и построить вторую половину развертки, симметричную первой относительно прямой S₀K₀.