Общие приемы построения линии пересечения кривой поверхности плоскостью

Для нахождения кривой линии, получаемой при пересечении линейчатой поверхности плоскостью, следует в общем случае строить точки пересечения образующих поверхности с секущей плоскостью, т. е. находить точку пересечения прямой с плоскостью. Искомая кривая (линия среза) проходит через эти точки. Пример дан на рис. 358: коническая поверхность, заданная точкой S и кривой АСЕ, пересечена фронтально-проецирующей пл. α; горизонтальная проекция линии пересечения проведена через горизонтальные проекции точек пересечения ряда образующих пл. α.

В этом примере построение упрощается благодаря тому, что секущая пл. α частного положения. Но указанный прием — получение точек пересечения ряда прямолинейных образующих поверхности в заданной секущей плоскостью для проведения через них искомой линии пересечения — годится при любом положении плоскости.

Если же кривая поверхность нелинейчатая, то для построения линии пересечения такой поверхности плоскостью в общем случае следует применять вспомогательные плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость. Вспомним рис. 166, на котором был показан случай применения вспомогательных плоскостей для построения линии пересечения двух плоскостей.

При подборе вспомогательных плоскостей, как и во всех случаях, когда они применяются (см., например, с. 64), надо стремиться к упрощению построений.

На рис. 359 изображено тело вращения, срезанное плоскостью, заданной трапецией ABCD. Здесь для построения точек кривых линий, получаемых на поверхности тела вращения, применены вспомогательные секущие плоскости. Рассмотрим для примера одну из них, пл. α. Пересекая поверхность тела вращения, эта плоскость дает окружность (параллель) радиуса 0"1", а пересекая пл. ABCD — горизонталь A"₁D"₁. В пересечении параллели поверхности вращения с горизонталью A"₁D"₁ получаются точки М" и N", принадлежащие одновременно и поверхности вращения, и плоскости ABCD, т. е. принадлежащие искомой линии пересечения. Повторяя этот прием, мы получим ряд точек, определяющих криволинейную часть линии среза. Плоские грани данного тела вращения срезаны пл. ABCD по прямым, выраженным отрезками AD и ВС.

В рассмотренном примере построение упрощается в связи с тем, что ось тела вращения перпендикулярна к пл. π₁ и параллели проецируются на эту плоскость в виде окружностей. Плоскость симметрии β позволяла контролировать правильность взаимного расположения точек кривых А'М'В' и D'N'C', так как, например, должно получаться М'2' = N'2'.

Пользуясь способом перемены плоскостей проекций или вращения, можно получить удобные для построений положения фигуры, если они были заданы в общих положениях в системе π₁, π₂. Но все это не касается изложенного приема, основанного на введении вспомогательных плоскостей. Этот прием применим независимо от положения пересекающихся поверхности и плоскости.

В ряде случаев кривая, которая должна получиться при пересечении поверхности

плоскостью, известна и ее проекции могут быть построены на основании их геометрических свойств. Вспомним хотя бы спираль Архимеда (с. 159, рис. 340), получаемую при пересечении косого геликоида плоскостью, перпендикулярной к его оси. Очевидно, целесообразнее строить эту спираль так, как показано на рис. 340, а не искать точки для нее путем проецирования.