Плоские кривые линии

Вращая секущую KS_l (рис. 292) вокруг оси К так, чтобы точка К₁ стремилась к точке К, получим предельное положение КТ — положение касательной к кривой в ее точке К.

Касательная передает направление движения точки, образующей кривою; направление касательной в некоторой точке кривой называют направлением кривой в этой точке.

Проведя в точке К прямую ,KN⊥КТ, получаем нормаль ¹) к кривой в ее точке К. Нормаль к окружности совпадает с направлением ее радиуса. Построение нормали к эллипсу показано в § 21.

Кривая в точке К на рис. 292 плавная: у нее в точке К одна касательная. Если кривая составлена только из таких точек, то это плавная кривая линия (рис. 293, слева), Но на кривой могут быть точки (см. рис, 293, справа), в которых имеются две

касательные с углом между ними, не равным 180°. Такую точку называют точкой излома, угловой или выходящей, и кривая в такой точке не является плавной. Здесь как бы две пересекающиеся между собой под углом кривые АВ и ВС. Если угол φ окажется равным 180°, то кривые АВ и ВС соприкоснутся и каждая из них в точке В окажется плавной. Соприкасающиеся кривые имеют одну и ту же касательную в общей их точке, а нормали к кривым в этой точке располагаются на одной прямой.

На рис, 294 в точке К кривой проведены касательная КТ и нормаль KN. Если во всех точках кривой повторяется такое же расположение относительно касательной и нормали в рассматриваемой окрестности ²), то кривая является выпуклой и ее точки — обыкновенными (или правильными). Примером служит эллипс.

На рис. 295 показаны точки: А — точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную, В и С — точки возврата, в которых кривая имеет острие («клюв») и касательная является общей для обеих ветвей кривой (из них точку В называют точкой возврата первого рода, а точку С — точкой возврата второго рода). Здесь мы коснулись так называемых особых точек кривой линии ³), например таких, в которых

¹) От normalis (лат.) — прямолинейный, прямой.

²) Под окрестностью здесь понимаются точки кривой в непосредственной близости к рассматриваемой точке.

³) Особые точки рассматриваются в курсе дифференциальной геометрии.

направление движения точки, описывающей кривую, изменяется на обратное (точки возврата) или скачком (см. на рис. 293 точку В).

Можно указать еще двойную точку (иначе узловую или самопересечения), в которой кривая пересекает самое себя и имеет две касательные (рис. 296, точка D),

и точку самоприкосновения, в которой кривая также встречает самое себя, но обе касательные совпадают (там же, точка Е),

Все такие случаи могут встречаться на проекциях плоских кривых, причем для плоской кривой достаточно иметь одну проекцию (если, конечно, эта проекция не является прямой линией), чтобы судить о характере ее точек, так как любая особенность этой проекции выражает такую же особенность самой плоской кривой.

Кривизной плоской кривой в какой-либо ее точке А₁ (рис. 297) считается предел, к которому стремится отношение угла между касательными, проведенными в соседних точках А₁ и А₂ кривой, к дуге А₁А₂, если точка А₂ стремится к А₁:

Итак, кривизной кривой в некоторой ее точке А называется предельное значение отношения угла φ₁ к дуге А₁А₂. Кривизна обозначается буквой k.

Очевидно, угол φ может быть представлен и как угол между нормалями к кривой в точках А₁ и А₂.

Если представить себе окружность, проходящую через точку А₁ (рис. 297) и две соседние с ней точки на кривой, стремящиеся к точке А ₁, то окружность придет к своему предельному положению, когда точка пересечения нормалей С₁ займет свое предельное положение и определится некоторый радиус С₁А₁. При этом окружность соприкоснется с кривой в точке A₁ у них получится общая касательная и общая нормаль, на которой лежит центр соприкасающейся окружности. Применяются термины: круг кривизны кривой в данной точке, центр кривизны (или центр круга кривизны), радиус кривизны (или радиус круга кривизны). Кривизна кривой в какой-либо точке равна обратной величине радиуса кривизны k = 1/r. Очевидно, для окружности в любой ее точке соприкасающаяся окружность имеет радиус, равный радиусу данной окружности. Отсюда кривизна окружности во всех ее точках равна обратной величине радиуса этой окружности: k_окр = 1/R. Чем больше R, тем меньше k.

У эллипса (рис. 298, слева) центры кривизны в вершинах А₁ и А₂ находятся на его большой оси, а в вершинах В₁ и В₂- на малой оси. Для определения положения центров кривизны мы воспользовались известными формулами для радиусов кривизны в вершинах эллипса: в вершинах А₁ и А₂ — формула r₁ = b²/a и вершинах В₁ и В₂ — формула r₂ = a²/b, где а — большая полуось, b — малая полуось эллипса.

На рис. 298 справа показано построение центров кривизны С₁ и С₃ и определение величины радиусов кривизны в вершинах А₁ и В₁: по заданным полуосям ОА₁ и ОВ₁ строится прямоугольник OB_lDA_l; в нем проводится диагональ А₁В₁ и к ней из точки D перпендикуляр, засекающий большую ось в точке С₁ и продолжение малой оси в точке С₃. Если провести дуги окружностей — из точки С₁, радиусом С₁А₁ и из точки С₃ радиусом С₃В₁, то между этими дугами получится зазор; в нем по лекалу проводится дуга, соприкасающаяся с обеими дугами окружностей. Для более точного проведения этой дуги целесообразно найти точку эллипса так, как это показано на том же чертеже для точки М на прямой, проводимой через фвкус F₂ перпендикулярно к оси эллипса А₁А₂. Последовательность построения: фокус F₂ (см. § 21), дуги радиусов 0А₂ и 0В₁, перпендикуляр к А₁А₂ в точке F₂ до пересечения с дугой в точке 1, радиус 0 — 1 и через точку 2 прямая, параллельная 0A₂. По найденным точкам С₁и С₃ можно найти еще два центра, а по точке М — еще три точки для проведения остальной части кривой. Эта комбинированная линия весьма близка к эллипсу.

Какая плоская кривая имеет постоянную кривизну? Это окружность (см. выше: k_окр = 1/R, где R — радиус окружности). Если прямую линию посчитать окружностью при R = ∞,то здесь также кривизна постоянная; k = 0.

На рис. 299 показано приближенное построение касательной и нормали к плавной кривой в некоторой ее точке К.

Проводим вспомогательную прямую EF примерно перпендикулярно к предполагаемому направлению касательной к кривой ABCD. Затем через точку К проводим несколько

прямых, пересекающих кривую ABCD и прямую EF. Если отложиггь А₁А₂ = АК, В₁В₂ = ВК, С₁С₂ = СК, D_lD₂ = KD и т. д. и через точки А₂, В₂, С₂, D₂,... провести плавную кривую линию; то в пересечении ее с прямой EF получится точка М — вторая точка прямой, касательной к кривой ABCD в точке К ¹).

На рис. 300 показано приближенное построение центра кривизны в некоторой точке К кривой линии.

Взяв на кривой вблизи точки К несколько точек А₁ А₂, ..., проводим в них и в точке К касательные. Откладываем на касательных произвольные, но равные между собой отрезки A_lA₅, А₂А₆, КК_l и через точки А₅, А₆, К₁ проводим кривую линию. В пересечении нормалей в точках К и К₁ получается точка С — искомый центр крлвизны, и радиус кривизны r = СК.

Отсюда определяется кривизна в точке К, равная 1/r.

¹) Кривая A₂B₂C₂D₂ является примером так называемой кривой ошибок!

5 В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский

Если построить центры кривизны данной кривой в ряде ее точек, то через эти центры в свою очередь пройдет кривая — геометрическое место центров кривизны данной кривой, называемое ее эволютой. Сама же данная кривая по отношению к ее эволюте называется эвольвентой ¹).Например. у кривой, называемой эвольвентой окружности, центры кривизны в различных точках этой кривой расположены на окружности, которая и является эволютой по отношению к данной эвольвенте.