Общие сведения о кривых линиях и их проецировании

Кривую линию можно представить себе как траекторию¹) движущейся точки на плоскости или в пространстве ²). Примером служат известные из курса черчения средней школы спираль Архимеда и цилиндрическая винтовая линия. Кривая линия может быть также получена в результате взаимного пересечения поверхностей (например, двух цилиндрических) или при пересечении поверхности плоскостью (например, эллипс, получающийся при пересечении боковой поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью, составляющей с осью цилиндра некоторый острый угол). Кривая линия в ряде случаев представляет собой геометрическое место точек, отвечающих определенным для этой кривой условиям (окружность, эллипс, парабола и т. п.).

Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами.

Кривые линии могут быть плоские, т. е. такие, которые всеми своими точками лежат в одной плоскости, и пространственные, т. е. такие, точки которых не принадлежат одной плоскости³). Примерами плоскйх кривых линий являются окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; примерами пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса.

Для построения проекций кривой (плоской или пространственной) необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек (рис. 289). Пример построения проекций плоской кривой по точкам был дан на рис. 119 (с. 48).

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций.

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому закону. Если при этом кривая определяется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, то она называется алгебраической ⁴). Примером может служить эллипс, его уравнение x²/a² + y²/b² = 1. Степень уравнения определяет «порядок» кривой: эллипс — кривая второго порядка. Кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной кпроекции этой кривой. Если, например, к окружности, расположенной в плоскости, составляющей с плоскостью проекций острый угол, проведена касательная, то

¹) Траектория — от trajectio (лат.) — передвижение, перемещение.

²) На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков.

³) Пространственные кривые называют также линиями двоякой кривизны.

⁴) Если кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцен дентны х.

она спроецируется в касательную к эллипсу, представляющему собой проекцию этой окружности. На рис. 289 изображены пространственная кривая, ее проекции на π₁, и на π₂, касательная к кривой в ее точке К и проекции этой касательной. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Чтобы отчетливее представить себе кривую в пространстве, следует при задании плоской или пространственной кривой ее проекциями указать на проекциях некоторые точки, характерные для самой кривой или для ее расположения относительно плоскостей проекций. Например, могут быть отмечены точки кривой,

наиболее удаленные относительно плоскостей проекций и наиболее близкие к ним; для этого надо проводить плоскости, касательные к кривой и параллельные соответствующим плоскостям проекций: на рис. 290 пл. α, параллельная пл. π₂, позволяет установить, что точка G на кривой в пространстве наиболее удалена от плоскости π₂.

Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, может быть неизменной (на всем протяжении кривой или на отдельных ее участках) или изменяться в разных точках кривой. Например, искривленность окружности или искривленность цилиндрической винтовой линии неизменна на всем их протяжении, а искривленность эллипса повторяется в его квадрантах, но в пределах одного квадранта непрерывно изменяется. Применяется термин кривизна линии. Кривизна выражается числом; она характеризует кривую в данной ее точке, точнее, на бесконечно малой дуге — окрестности этой точки.

Длина некоторого участка кривой как плоской, так и пространственной определяется приближенно, путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерения длины звеньев этой ломаной линии (это, конечно,не относится к тем кривым, длина которых может быть определена путем несложных вычислений ¹)). Для уменьшения ошибки

¹) Например, окружность, виток цилиндрической винтовой линии (см. далее § 48).

следует брать отрезки ломаной, мало отличающиеся по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. На рис, 291 показано определение длины кривой ABC: горизонтальная проекция — кривая А'В'С — разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси х так, что отрезки А₀1₀,1₀В₀ и т. д. соответственно равны хордам А'1', 1'В' и т. д.; в точках А₀,1₀ и т.д. проведены перпендикуляры к оси х, и на этих перпендикулярах отложены аппликаты точек кривой. Получаем ломаную, длина которой может быть приближенно принята за длину кривой ABC.