Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций π1,π2
ТеорияИз рассмотрения левой части рис. 69 можно заключить, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет равен проекции отрезка (А1 = А°В°), а другой катет равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций π0.
![](../common/img/ris69.png)
Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости проекций, имеют разные знаки (рис. 69, справа), то надо иметь в виду разность алгебраическую:
В1 = ВВ0 -(- АА0) = ВВ° + АА0.
Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной величины отрезка.
Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в любом месте поля чертежа. На рис. 70 показано построение, примененное Г. Монжем:
![](../common/img/ris7072.png)
от точки I отложен отрезок А'1, равный проекции А'В', и проведена гипотенуза А"В", выражающая натуральную величину отрезка АВ. Угол с вершиной в точке А" равен углу между АВ и пл. π1
На рис. 71 слева длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с пл. π1, определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В' при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*.
На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. π2, определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В" (А"А*= А'2). АВ = В" А*.
Ограничены ли чем-либо углы φ1 и φ2 для прямой общего положения? Да, каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего положения φ1 + φ2 < 90°. Действительно (рис. 72), в прямоугольном треугольнике сумма углов φ1 + φ2 = 90°. Но в треугольниках N"M"M' и N"N'M' при об щей гипотенузе N"M' катет N"M" больше катета N"N' и, следовательно,φ>φ1. Подставляя в φ+ φ2=90° угол φ1 вместо φ, получим φ1+φ2<90°.
Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и А"В"A*. В каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из катетов является проекцией зтого отрезка. Другой же катет равен разности расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* =В”1 = разности расстояний от π1, а А"А* = А'2 = разности расстояний от π2). Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и пл. π1 (угол φ1), в другом — угол между отрезком и пл. φ2 (угол φ22).
В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол, определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы, составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка).
Положим (рис. 73), что АВ есть заданный отрезок (на рис. 71 он соответствует гипотенузам А'В* и В"А*). Построим на нем, как на диаметре, окружносгь. Приняв точку А за вершину, построим угол φ1[ (т. е. заданный угол с пл. π1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную проекцию отрезка АВ, а катет В1 — разность расстояний концов отрезка АВ от пл. π1-
Построим (рис. 73) также прямоугольный треугольник А2В по той же гипотенузе АВ и заданному углу φ2 с плоскостью проекций π2 и сравним его с треугольником В"А"А* на рис. 71. Очевидно, катет В2 выражает фронтальную проекцию заданного отрезка, а катет А2 — разность расстояний концов отрезка от пл. π2.
Теперь построим чертеж (рис. 74). Положим, что отрезок надо провести через точку В влево вниз на себя. Отложив на линии связи В"В' от точки В" отрезок В"1, равный B1 (см. рис. 73), проведем через точку 1 прямую перпендикулярно к В"В'. Засекая эту прямую из точки В" дугой, радиус которой должен равняться фронтальной проекции, т. е. отрезку В2, получим точку А". Чтобы найти горизонтальную проекцию А', можно засечь линию связи,
![](../common/img/ris7375.png)
проведенную через точку А", дугой, радиус которой равен А1 (см. рис. 73).'При этом должно получиться А"А' — B'1 = А2.
На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить отрезок АВ и в этих положениях.
На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О. Сначала построены проекции искомого отрезка — А"0" и А'О' (точка О выражена ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет которого — проекция А'О', другой — отрезок А'А* = А"Аx. Искомое расстояние определяется гипотенузой О'А*.
Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной к плоскостям π1 ,π2 , и π3 , с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в § 10, и была указана его величина ( ≈35°). Ее можно определить, если рассмотреть хотя
![](../common/img/ris7677.png)
бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и 2А'В' равны каждый 45° (см. § 10).
Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в котором катет В'В* = В" 1. Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = √2 и угол φ2 ≈ 35° 15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями π2 и π3.
Если применить то, что было сказано в § 8; т. е. дополнить систему π1 , π2 системой π4 , π1 , выбрав пл.π4 ⊥ π1 и параллельно заданному на чертеже отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. π4 выразит его натуральную величину и угол с π1.
Положим (рис. 77), требуется определить натуральную величину отрезка А В и угол его с пл. π1. В систему π1, π2 введена пл. π4 ⊥ π1так, что π4||АВ. Возникла дополнительная система π4,π1. В ней АВ || π4 (ось π4/π1|| А'В'); проекция AIVBIV выражает натуральную величину отрезка АВ.