Проекции отрезка прямой линии

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В (рис. 45). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы получаем проекции отрезка АВ — фронтальную (А" В") и горизонтальную (А'В')¹).

Можно ли утверждать, что такой чертеж (рис. 45) выражает именно отрезок прямой линии? Да; если представить себе (рис. 46), что через А'В' и через А"В" проведены проецирующие плоскости (т. е. перпендикулярные соответственно к с и к π₂), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее отрезок АВ. При этом точка, заданная своими проекциями на А'В' и на А”В", принадлежит отрезку АВ.

На рис. 47 дан чертеж отрезка АВ в системе π₁, π₂, π₃. Проекции А'" и В'" построены так, как это было показано на рис. 18 для одной точки А.

Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей π₁, лπ₂ и π₃, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни одна из проекций прямой не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней. Такая прямая называется прямой общего положения.

¹) См. § 2, п. 5.

Каждая из проекций меньше самого отрезка: А'В' < АВ, А"В" < АВ, А'"В'" < АВ. Обозначая углы между прямой и плоскостями π₁, π₂, π₃ соответственно через φ₁, φ₂ и φ₃, получим

А'В'=АВφ₁,, А"В" = АВφ₂, А'"В'" = АВ φ₃

Если А'В' = А"В" = А"'В'", то прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы (≈35°)¹); при этом каждая из проекций прямой расположена под углом 45° к соответствующим осям проекций или линиям связи между проекциями.

Действительно, если (рис, 48) А"В" = А'В' и А'В' = А'"В"', то фигура А"В"В'А' - равнобочная трапеция и В"1 = В'2, откуда В'"3 = А'"3, т. е. угол А"'в'"3 = 45°, а так как фигура А"В"В'"А”' — параллелограмм, то каждый из углов В”А"1 и В'А'2 равен 45°.

Как построить на чертеже без осей проекций, например, профильную проекцию отрезка прямой линии? Построение показано на рис. 49, где слева дан исходный чертеж отрезка АВ прямой общего положения, в середине показано применение вспомогательной прямой, проведенной под углом 45° к направлению линии связи В"В', а справа — построение в разности расстояний точек А и В от пл. π₂, т. е, по отрезку А'l: задавшись положением хотя бы проекции А'" (на линии связи А"А'"), откладываем А'”2 = А'1 и, проведя из точки 2 перпендикуляр до перес

¹) Вывод см. в § 13.