Образование дополнительных систем плоскостей проекций

До сих пор мы встречались с двумя системами плоскостей проекций — π₁, π₂ и π₁, π₂, π₃. В случае необходимости можно образовать и другие системы. Например, введя в систему π₁, π₂ некоторую пл. π₄⊥π₁, (рис. 35), мы получим, помимо системы π₁, π₂ с проекциями А' и А" точки А, еще систему π₁, π₄ с проекциями А' и A^IV той же точки А.

Образуется ли при этом также система π₂, π₄? Нет: плоскости π₂ и π₄ не перпендикулярны одна к другой.

Пл. π₁, входит в обе системы π₁, π₂ и π₁, π₄. Поэтому проекция А' точки A (рис. 35) относится и к системе π₁, π₄. При проецировании же точки А на пл. π₄ получаем точку A^IV на расстоянии A^IVA_x1 от пл. π₁, равном АА' и А"А_x.

На рис. 36 плоскосги π₁, π₂ и π₄ показаны совмещенными в одну плоскость — плоскость чертежа; полученный при этом чертеж дан на рис. 37. Помимо оси π₂/π₁ ¹) введена еще ось π₄/π₁ ; она выбирается согласно условиям, вытекающим ит задания, как эго будет показано дальше. Ит точки А' проведена перпендикулярно к оси π₄/π₁, линия святи, на которой отложен отрезок A_x1A^IV, равный отретку А"А_x, т. е. расстоянию в пространстве от точки А до пл. π₁.

На рис. 38 покатан чертеж, в котором помимо системы π₁, π₂ дана еще система π₂, π₅, т. е. в систему π₁, π₂ введена дополнительная пл. π₅, перпендикулярная к π₂. Теперь в обеих системах (π₁, π₂ и π₂, π₅) содержится пл. π₂. Поэтому сохраняется расстояние точки А именно от пл. π₂ и на чертеже отреток A^vA_x1 должен быть взят равным отрезку А'А_x.

Очевидно, плоскость π₃ (рис. 15) можно истолковать как дополнительную, проведенную перпендикулярно и к π₂, и к π₁ Но при этом обычно помимо системы π₁, π₂ рассматривают еще систему π₂, π₃. По аналогии с рис. 38 можно было бы придать рис. 22 форму, показанную на рис. 39 слева, где В'"В_x1=В'В_x. Если же использовать вспомогательную прямую по рис. 17 (продолженную биссектрису угла xOz), то построение принимает вид, указанный на рис. 39 справа. Можно ли поступать аналогично при построении, например, проекции А^IV (рис. 37) или А^V (рис. 38)? Да; эго показано на рис. 40 и 41. Но здесь, конечно, угол 45°, посгроенный на рис. 17, не получается. Как видно из чертежей на рис. 40 и 41, надо провести биссектрису угла, образуемого осями π₂/π₁ и π₄/π₁ (рис. 40) и осями π₂/π₁ и π₂/π₅ (рис. 41).

¹) Это обозначение оси соответствует ранее принятому — х. При введении новой оси, например π₄/π₁, ее обозначение — х₁.

Но, как было сказано на с. 23, предпочтительными являются построения, показанные на рис. 39 слева и на рис. 37 и 38.

В дальнейшем (§ 33) мы встретимся еще с другими примерами введения дополнительных плоскостей для образования требуемой системы плоскостей проекций.