Линейчатые поверхности с тремя направляющими

Классификация линейчатых поверхностей и их распределение по группам и подгруппам в рамках общей схемы классификации поверхностей (см. рис. 121) в зависимости от вида определителя, содержащего информацию о числе направляющих, показаны на рис. 129.

* Мы рассматриваем случай, когда образующие будут действительными прямыми.

Из рис. 129 видно, что все многообразие линейчатых поверхностей может быть отнесено к трем группам:

группа А_II - линейчатые поверхности с тремя направляющими;

группа Б_II - линейчатые поверхности с двумя направляющими;

группа В_II - линейчатые поверхности с одной направляющей. Рассмотрение линейчатых поверхностей начнем с группы А_II - Определитель этой наиболее общей группы линейчатых поверхностей имеет вид

Ф (g̃; d₁, d₂, d₃); [g_j ∩ { d₁, d₂, d₃} ≠ ∅]

где g - прямая, образующая, d₁, d₂ и d₃ - направляющие.

Таблица 4. Линейчатые поверхности с тремя направляющими. Группа А_II; Ф (g̃; d₁, d₂, d₃); [g_j ∩ { d₁, d₂, d₃} ≠ ∅]

В зависимости от формы направляющих и их расположения в пространстве можно получить различные поверхности этой группы, которые могут быть отнесены к четырем подгруппам (табл. 4, рис. 130 ... 133).

1. Поверхность косого цилиндра с тремя направляющими (см. табл. 4, рис. 130). Эта поверхность может быть задана на эпюре Монжа проекциями трех криволинейных направляющих и пересекающей их прямолинейной образующей.

2. Поверхность дважды косого цилиндроида (см. табл. 4, рис. 131). Она образуется в том случае, когда две из трех направляющих кривые, а третья - прямая линия. В инженерной практике находят применение частные случаи поверхностей этого вида.

Поверхность косого клина. Эта поверхность получается в том случае, когда все три направляющие расположены в параллельных плоскостях, причем криволинейные направляющие - гладкие кривые. Поверхность косого клина используется при конструировании поверхности, крыла летательного аппарата (рис. 134). При этом достигаются хорошие технологические условия изготовления его каркаса.

Поверхность косого перехода. Для образования поверхности косого перехода в качестве криволинейных направляющих берут дуги окружностей одинакового радиуса, расположенные в параллельных плоскостях, а в качестве третьей направляющей - прямую, перпендикулярную к плоскостям окружностей и проходящую через середину отрезка, который соединяет центры окружностей (рис. 135). Поверхности косого перехода применяются в архитектуре и строительной практике.

3. Поверхность дважды косого коноида (см. табл. 4, рис. 132). Эта поверхность образуется в том случае, когда одна из трех направляющих кривая, а две другие - прямые линии.

4. Поверхность однополостного гиперболоида (см. табл. 4, рис. 133). Поверхность однополостного гиперболоида может быть получена при движении прямолинейной образующей по трем скрещивающимся прямым, не параллельным одной плоскости.

На рис. 136 поверхность однополостного гиперболоида задана прямыми направляющими d₁, d₂, d₃ и показаны образующие g₁, g₂ и g₃. Определение положения образующей рассмотрим на примере построения прямой g₁ . На направляющей d₁ отмечаем произвольную точку 1 (1', 1"). Эта точка совместно с направляющей d₂ (прямая d₂ для упрощения геометрических построений принята горизонтально проецирующей) определяет плоскость β. Находим точку 2 = d₃ ∩ h_0β. Точки 1 и 2 определяют образующую g₁ . Аналогично находят проекции прямых g₂ и g₃

Поверхность однополостного гиперболоида обладает одним замечательным свойством: направляющие d₁, d₂, d₃ можно принять за образующие, а образующие g₁, g₂, g₃ считать направляющими, при этом получится та же самая поверхность, т. е. определители

Ф (g; d₁, d₂, d₃); [g_j ∩ { d₁, d₂, d₃} ≠ ∅]

Ф (d; g₁, g₂, g₃); [g_j ∩ { g₁, g₂, g₃} ≠ ∅]

тождественны. Иными словами, в однополостном гиперболоиде имеются два семейства прямолинейных образующих, причем образующие одного семейства не пересекаются между собой, но каждая из образующих одного семейства пересекает все образующие другого семейства.

Можно представить случай, когда три прямолинейные образующие могут быть совмещены друг с другом путем вращения вокруг некоторой оси. В этом случае вся поверхность может быть образована вращением только одной из трех образующих вокруг этой оси. Покажем, что при этом получается поверхность однополостного гиперболоида.

Пусть прямая g (рис. 137) вращается вокруг оси i (прямая g и ось i скрещивающиеся). Проведем прямую а, пересекающую ось i в точке А. Прямые а и i определяют меридиональную плоскость поверхности, которая образуется вращением прямой g. При вращении прямой а вокруг оси i образуется коническая поверхность вращения, заданная на чертеже двумя положениями образующей а₁, а₂ и осью i. Прямая g, не параллельная этой конической поверхности, пересечет ее в двух точках. Допустим, что этими точками будут М и N. При вращении прямая g пересечет прямые а₁ и а₂ в точках М₁, N₁ и М₂, N₂, т. е. произвольная прямая меридиональной плоскости пересекает меридиан поверхности в двух точках. Это говорит о том, что меридиан этой поверхности - кривая второго порядка.

Ось i меридиана не пересекает, но является для него осью симметрии. Это, в свою очередь, говорит о том, что меридиан поверхности - кривая второго порядка - гипербола, а прямая i - ее мнимая ось. Мы показали, что в частном случае линейчатая поверхность с тремя скрещивающимися прямолинейными направляющими пересекается плоскостью, проходящей через ось поверхности, по гиперболе; отсюда и произошло

название ной поверхности - однополостиый гиперболоид вращения*. Плоскость, перпендикулярная к оси одпополоетпого гиперболоида, пересекает его по эллипсу, и частном случае по о кружноети (при пересечении одномолостного гиперболоида вращения) .

Практически для построения проекций однополостного гиперболоида вращении необходимо: построить проекции двух окружностей, расположенных в двух параллельных плоскостях; разделить проекции окружностей на произвольное ранное число частей (рис.168); затем соединить прямой линией точку 1"₁ нижней окружности с любой (кроме 1"₂ ) точкой верхней окружности. На чертеже 138 точка 1"₁, соединена с точкой 3"₂, точка 2"₁, с 4"₂ и т. д. Соединив все точки деления нижней окружности с точками деления верхней окружности, получим проекции каркаса поверхности. Второе семейство линий каркаса этой поверхности может быть образовано, если соединить первую точку верхней окружности с третьей точкой нижней окружности (1"₂ с 3"₁), точку 2"₂ с точкой 4"₁, 3"₂ с 5"₁ и т. д.

Поверхность однополостного гиперболоида вращения широко используется н технике, в частности, для передачи вращения при скрещивающихся осях с помощью зубчатых или фрикционных гипербоидальных колес. Особенно широкое применение эта поверхность нашла в строительстве. Одним из примеров может служить башня Шухова, построенная в Москве для установки антенны радиостанции "Коминтерн" - первой мощной радиостанции в Советском Союзе.

Гиперболический параболоид. В частном случае, когда прямолинейная образующая скользит по трем скрещивающимся прямым (направляющим), параллельным одной плоскости, получается поверхность, называемая гиперболическим параболоидом. Такому названию эта поверхность обязана тем, что при пересечении ее плоскостями в сечениях получаются гипербола и парабола.

Поверхность гиперболического параболоида обладает одним замечательным свойством, состоящим в том, что не только ее направляющие параллельны одной плоскости, но и образующие, скользящие по этим направляющим, также параллельны некоторой плоскости. Чтобы убедиться в справедливости этого высказывания, докажем следующую теорему.

Если прямая перемещается в пространстве по трем прямым, параллельным одной и той же плоскости, то она будет двигаться, все время оставаясь параллельной некоторой другой плоскости.

Пусть даны три скрещивающиеся направляющие прямые d₁, d₂и d₃, параллельные горизонтально проецирующей плоскости γ (рис. 139). Чтобы не загромождать чертежа лишними геометрическими построениями, будем считать, что образующие гиперболического параболоида принадлежат фронтально проецирующим плоскостям β₁, β₂ и β₃. При таких условиях образующие g₁, g₂, g₃ определяются соответственно точками 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 пересечения направляющих с плоскостями β₁, β₂, β₃. Построим [З'7'], конгруентный и параллельный отрезку [5'6'], и проведем прямую 7'4'. Из чертежа видно, что Δ2'3'7' ≅ Δ 5'6'8', так как стороны этих треугольников параллельны, а сторона 3'7' Δ3'2'7' конгруентна стороне 5'6' Δ5'6'8'.

Из конгруентности треугольников следует [2'7'] ≅ [5'8'], но [5'8'] ≅ [1'4'] (как параллельные между параллельными), следовательно, [2'7'] ≅ [1'4'] . Отсюда вытекает, что отрезки [1'2'] и [4'7'] конгруентны

* Поверхность однополостного гиперболоида вращения можно получить также вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

и параллельны. Прямые g₁ и g₃ как параллельные соответствующим сторонам Δ3'4'7' параллельны его плоскости; третья образующая g₂ принадлежит плоскости этого треугольника.

Из изложенного следует, что произвольно взятые образующие Рис. 138 гиперболического параболоида параллельны некоторой плоскости.

Это, в свою очередь, говорит о том, что на поверхности гиперболического параболоида имеется два семейства прямых линий, каждое из которых параллельно своей плоскости, т. е. эта поверхность так же, как и поверхность однополостного гиперболоида, имеет две плоскости параллелизма. Если плоскости параллелизма взаимно перпендикулярны, то гиперболический параболоид называют прямым, если не перпендикулярны, то поверхность называют наклонной. Для образования одной и той же поверхности безразлично, из какого семейства взяты прямые за направляющие. В рассматриваемом примере можно за направляющие принять скрещивающиеся прямые g₁, g₂, g₃, параллельные плоскости Δ3'4'7', тогда образующими поверхности окажутся прямые d₁, d₂, d₃.