Образование поверхности и ее задание на эпюре Монжа

Ранее отмечалось, что поверхность можно рассматривать как совокупность последовательных положений некоторой линии g_j, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже (эпюре Монжа) закон перемещения линии g_j целесообразно задавать графически в виде совокупности линий {d, ...} и указаний о характере перемещения линии g_j, при этом указания могут быть заданы также графически, в частности с помощью направляющей поверхности γ.

В процессе образования поверхности линия g_j может оставаться неизменной или менять свою форму. Подвижная линия g_j* называется образующей, неподвижные линии {d, ...} ** и поверхность γ - направляющими.

Процесс образования поверхности может быть легко уяснен на примере, показанном на рис. 115. Здесь в качестве образующей взята плоская кривая g̃ _j. Закон перемещения кривой ̃ _j задан двумя направляющими ᵭ₁ и ᵭ₂ и плоскостью γ, при этом имеется в виду, что образующая g̃ _j скользит по направляющим ᵭ₁ и ᵭ₂, все время оставаясь параллельной плоскости γ, а точка А, принадлежащая образующей g̃ _j перемещается по кривой ᵭ₁. Описанный способ образования поверхности называется кинематическим. Кинематическим способом можно образовать и с его помощью задать на чертеже разнообразные поверхности.

Каркас поверхности

Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий, при этом точки или линии выбираются так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи.

Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом.

* g - образующая, от латинского слова genero - образую, порождаю.

** d - направляющая, от латинского слова dirigo - направляю.

В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы подразделяют на точечные и линейные. Линейным каркасом называется множество линий , имеющих единый закон образования и связанных между собой определенной зависимостью. Условия, устанавливающие связь между линиями каркаса, называют зависимостью каркаса. Эта зависимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, называемой параметром каркаса. Линейный каркас считается непрерывным, если параметр каркаса - непрерывная функция, в противном случае он называется дискретным.

В качестве линий, образующих каркас, обычно берут семейство плоских кривых, полученных в результате сечения поверхности пучком параллельных плоскостей. В основе теории каркаса лежит положение о том, что непрерывное однопараметрическое множество линий в пространстве задает поверхность, и, наоборот, всякая поверхность может быть представлена однопараметрическим множеством линий, свойства которых и закон их распределения в пространстве определяют свойства поверхности.

Для того чтобы по каркасу можно было судить о форме поверхности и иметь возможность осуществлять расширение дискретного каркаса до непрерывного, поверхности следует задавать каркасом, образованным двумя семействами плоских сечений.

На рис. 116 показан каркас поверхности, состоящий из двух ортогонально расположенных семейств линий а₁, а₂, а₃, ... , а_n и b₁, b₂, b₃, ... ,b_n. При необходимости заданный каркас может быть расширен путем проведения дополнительных линий а_i и b_i в интервале между соседними линиями семейства {a ...} и {b ...} соответственно.