Эпюр Монжа

В машиностроении для того чтобы иметь возможность по чертежу судить о форме и размерах изображаемых предметов (деталей, узлов, машин, агрегатов), при составлении чертежей, как правило, пользуются не двумя, а несколькими плоскостями проекций.

Наиболее часто используются три плоскости проекции. В связи с тем, что начертательная геометрия призвана передавать результаты своих

* Имеется в виду, что отрезки не перпендикулярны плоскости проекции.

теоретических исследований для практического использования, ортогональное проецирование целесообразно рассматривать также в системе трех плоскостей проекций.

Положение в пространстве точки, а следовательно, и любой геометрической фигуры может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система отнесения. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям является декартова система координат *, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

Рис. 25 дает наглядное представление о макете, состоящем из трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Условимся называть:

плоскость π₁ - горизонтальной плоскостью проекции;

плоскость π₂ фронтальной плоскостью проекции;

плоскость π₃ - профильной плоскостью проекции.

Линии пересечения плоскостей проекции образуют оси координат. Ось х называют осью абсцисс, ось у - осью ординат и ось z - осью аппликат. Точка пересечения осей принимается за начало координат и обозначается буквой О (первая буква латинского слова Origo - начало).

В Советском Союзе, как и в большинстве европейских стран (в отличие от США и некоторых стран Латинской Америки), принята правая система расположения плоскостей проекций. При этом положительными направлениями осей считают: для оси х - влево от начала координат, для оси у - в сторону зрителя от плоскости π₂, для оси z - вверх от плоскости π₁ ; противоположные направления осей считают отрицательными.

Плоскости проекции делят пространство на восемь частей - октантов. Октанты условно принято нумеровать, как это показано римскими цифрами на рис. 25.

Каждый октант представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями служат части плоскостей проекций (называемые полами), а ребрами - оси координат.

* Декарт (1696-1650) - французский математик и философ, предложивший систему координат для определения положения системы точек в пространстве.

Учитывая при отсчете координат точки отмеченные выше направления осей х, у и z, получим табл. 1 знаков координат.

Пользоваться пространственным макетом, показанным на рис. 25, для изображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях π₁ и π₃ (показанных на макете) происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.

Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета пользуются эпюром - чертежом, составленным из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры*.

Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей π₁ и π₃ с фронтальной плоскостью проекции π₂. Для совмещения плоскости π₁ с π₂ поворачиваем ее на 90° вокруг оси х в направлении движения часовой стрелки (рис. 26).

На рис. 26, для наглядности, плоскость π₁ повернута на угол, чуть меньший 90° После совмещения горизонтальной плоскости поворачиваем вокруг оси z также на угол 90° профильную плоскость в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Вместе с полами

* Эпюр - от французского глагола epurer - улучшать, исправлять рисунок.

плоскостей проекций будет перемещаться и ось у, при этом ось у, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z, а ось у профильной плоскости - с осью х. После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рис. 27. На этом рисунке указана также последовательность, в которой располагаются полы плоскостей проекций, так, запись π₂[π₁(π₃)] указывает, что в этой части эпюра (ограниченного положительным направлением осей х и z) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции, за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции, далее - верхняя задняя пола профильной плоскости проекции.

Так как плоскости не имеют границ, в совмещенном положении (на эпюре) границы не показывают; нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций; излишне также напоминать, где отрицательное направление осей проекций. Тогда, в окончательном виде, эпюр, заменяющий чертеж пространственного макета (см. рис. 25), примет вид, показанный на рис. 28. Плоская модель (эпюр) пространственного макета несет такую же информацию, какую содержит пространственный макет.