Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа
Решение задач187*. Поворотом вокруг прямой MN ввести точку АВ пл H (рис. 173,а).
Решение. Ось вращения — прямая М N - в данном случае параллельна пл. Н. Поэтому плоскость вращения точки А является горизонтально-проецирующей. Ее след Sh (рис. 173, б) проходит через проекцию а. Точка А при повороте ее вокруг МN описывает в пл. S окружность, горизонт. проекция которой совпадает с Sh; центр этой окружности находится в точке О пересечения оси вращения МN с пл. S. Так как пл. S составляет с пл. V острый угол, то проекция окружности, расположенной в пл. S, получится на пл. V в виде эллипса. Чтобы избежать построения этого эллипса, совместим пл. S и лежащие в ней точки О и А с пл. Н. Это даст возможность изобразить дугу окружности, по которой перемещается точка А, без искажения. По условию
задачи точка А, находясь в пл. S, должна оказаться в пл. Н; следовательно, точка А должна получиться после поворота на следе Sh, и совпасть со своей горизонт. проекци-
![Рис 173.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.173.png)
ей. Поэтому, проведя дугу радиусом O0A0, получим точки а1 и а2 горизонт. проекции трчки А, приведенной в пл. Н. По точкам а1 и а2 строим на оси х проекции a'1 и a'2.
188. Поворотом вокруг прямой MN ввести точку АВ пл V (рис. 174).
![Рис 174-175.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.174-175.png)
189*. Построить проекции окружности, расположенной в пл. Р (рис. 175, а). Известна величина радиуса этой окружности (R) и положение фронт. проекции (с') ее центра.
Решение. Прежде всего находим проекцию с центра окружности (при помоги горизонтали CN). Точки с' и с будут центрами эллипсов — проекций окружности, расположенной в плоскости общего положения Р.
![Рис 175.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.175.png)
![Рис 175.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.175b.png)
На рис. 175,6 показано построение осей эллипса — горизонт. проекции окружности. Большая ось расположена на горизонт. проекции горизонтали CN и равна 2R. Положение малой оси также известно: она перпендикулярна к 1—2. Для определения величины этой оси (а также малой оси фронт. проекции) применено совмещение пл. Р с пл. Н, что дает возможность изобразить окружность без искажения. Ее диаметр 1020 соответствует отрезку 1—2, т. е. большой оси эллипса — горизонт. проекции окружности, а диаметр 3040 — малой оси этого эллипса. Проведя через точку 30 фронталь плоскости Р в ее совмёщенном положении (|| Рϑ0), а затем горизонт. проекцию этой фронтали, находим точку 3 и тем самым получилось с—3. Откладывая с—4 = с—3, получаем малую ось эллипса 3—4.
Построение осей эллипса—фронт. проекции окружности—показано на рис. 175,в. Здесь также известно положение большой оси — она лежит на фронт. проекции фронтали, проходящей через с',— и величина этой оси (7'S'=2R). Малая ось перпендикулярна к 7'8'. Величина же малой оси определяется при помощи диаметра 5060 окружности в ее совмещенном с пл. Н положении: большой оси эллипса 7'8' соответствует диаметр 7080 окружности, а малой оси 5'6' — диаметр 5060, перпендикулярный к 7080. Проведя через 60 фронталь плоскости Р до пересечения с Рh, находим затем
фронт. проекцию этой фронта ли и на ней точку 6'— конец малой оси эллипса. Откладывая с'5'= с'6', получаем малую ось 5'6'. '
На рис. 175, г показано построение проекций некоторых точек окружности. Взяты точки 90 и 100 на прямой А0В0. Построив горизонт. и фронт. проекции этой прямой, находим сначала проекции 9 и 10, а затем 9' и 10'.
Найдя ряд точек, проводим через ник и через концы осей эллипсы — проекции окружности.
190*. Построить проекции окружности, расположенной в плоскости, заданной ее горизонталью ВС и фронталью СЕ (рис. 176, а). Известны величина радиуса этой окружности и положение центра — точка С.
![Рис 176.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.176.png)
![Рис 176.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.176b.png)
Решение. Находим горизонт. след фронталн (рис. 176, б) и проводим через точку m след Ph параллельно cb. Определяем величину радиуса СО как величину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами сО и сС и находим совмещенное с пл. H положение центра окружности С0. На рис. 176, в точка 3 построена с помощью прямой 1030, продолженной до пересечения с Ph в точке А0(а), а точки 5 и 6 — с помощью прямой 5060, проходящей через центр С0 и пересекающей при своем продолжении след Ph в точке D0(d).
Дальнейшие построения аналогичны выполненным на рис. 175, б и в. Они ясны из чертежа.
191. Построить проекции окружности, описанной вокруг треугольника ABC (рис. 177).
192*. Плоскость, заданную треугольником AВС, повернуть вокруг оси OO1 так, чтобы точка К оказалась в этой плоскости (рис. 178, а).
Решение. Если точка К войдет в плоскость, то она окажется на одной из горизонталей этой плоскости, а именно на той, которая расположена на одном уровне с точкой К (рис.178,6). Поэтому проводим через k' фронт. проекцию горизонтали, находим точки 1' и 2', а по ним точки 1 и 2 и проводим горизонт. проекцию 1—2 горизонтали.
Теперь надо повернуть горизонталь так, чтобы она прошла через точку К. Для этого опускаем из точки 0(01) перпендикуляр на 1—2 и радиусом О—3 проводим дугу
![Рис 177.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.177.png)
![Рис 178.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.178.png)
окружности, по отношению к которой горизонт. проекция горизонтали является касательной в любом положении при повороте плоскости вокруг данной оси ООг. Поэтому, проведя из к касательную к этой окружности, мы определяем положение горизонт. проекции горизонтали, на которой должна находиться точка К после требуемого поворота. Наносим на нее точки 11 и 21 (31 11 = 1—3 и 1121=1—2), а затем строим точки a1,b1 и c1 на основании известного вывода, устанавливающего неизменяемость горизонтальной проекции фигуры по форме и по размерам при повороте вокруг оси, перпендикулярной к пл. Н.
По проекции a1b1c1 строим проекцию а'1b'1с'1. В положении A1B1C1 треугольник проходит через точку K.
Если из К провести вторую касательную к окружности, то получится второе решение. Предоставляем читателю найти это положение треугольника ABC.
193. Плоскость, заданную треугольником ABC, повернуть вокруг оси OO1 так, чтобы точка К оказалась в этой плоскости (рис. 179),
![Рис 179.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.179.png)
194*. Найти предельное положение осей, при котором еще возможно получить решение в задаче 192.
Решение. Положим, что плоскость, как и в задаче 192, задана треугольником (рис. 180, а), ось, вокруг которой надо повернуть плоскость, должна быть перпендикулярна к пл. H и точка К должна оказаться в плоскости треугольника.
Из рассмотрения рис. 180,6 следует, что горизонт. проекция оси ОО1 должна буть расположена так, чтобы проекция k не оказалась внутри окружности с радиусом O—3, так как из точки А надо провести касательную к этой окружности. Следовательно, расстояние точки О от k должно быть не меньше расстояния этой же точки до прямой 1—2.
равны между собой, принадлежат параболе с фокусом в точке k и директрисой в виде прямой 1—2. Следовательно, предельное положение осей получается, если их горизонт. проекции образуют параболу, а самые оси представляют собою образующие параболического цилиндра. На рис. 180, б показано построение параболы с фокусом в точке А и с директрисой 1—2. Если взять отрезок, например l1, провести прямую параллельно 1—2 на расстоянии l1 и дугу радиуса l1 из точки k, то получатся две точки параболы. Вершина параболы — в точке О.
![Рис 180.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.180.png)
Очевидно, оси, горизонт. проекции которых оказались бы внутри параболы, непригодны для соблюдения условия задачи 192. Если же взять оси вне параболического цилиндра, то за один оборот плоскости точка дважды окажется в ней.
![Рис 181.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.181.png)
195. Найти предельное положение осей, перпендикулярных к пл. V, при повороте вокруг которых точка К окажется в плоскости, заданной треугольником ABC (рис. 181).
196*. Найти точку К, находящуюся внутри пирамиды и отстоящую от грани SAB на расстояние l1, от грани SAC — на l2, от грани ABC (основание пирамиды) — на l3 (рис. 182, а).
![Рис 182.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.182.png)
Решение. Искомая точка нолучится как точка пересечения трех плоскостей, из; которых каждая является геометрическим местом точек, отстоящих на определенное расстояние от граней пирамиды.
Введя дополнительную пл. T, перпендикулярную к грани SAB (рис. 182, б), поручаем проекцию пирамиды, на которой грань SAB изображается прямой stat. Плоскость, параллельная грани SAB и удаленная от нее на расстояние l1 изображается прямой lt2t ; эта плоскость пересекает пирамиду по треугольнику 1—2—3 (па рис. 182, б показана только горизонт. проекция).
Плоскость, удаленная от грани SAC на расстояние l2, изображается на дополнительной пл. Q, перпендикулярной к этой грани (рис. 182, в), в виде прямой 4q5q и пересекает пирамиду по треугольнику 4—5—6 (дана лишь горизонт. проекция этого треугольника).
Искомая точка К должна принадлежать линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками 1—2—3 и 4—5—6. Эта прямая проходит через точки М и N, получаемые при пересечении сторон 2—3 и 6—5, 1—3 и 4—5 треугольников 1—2—3 и 4—5—6 (рис. 182, г).
Находим фронт. проекцию k' (рис. 182, д) на m'n' из условия, что точка К отстоит от грани ABC на расстояние l3.
Геометрическим местом таких точек является пл. Р, параллельная грани ABC. По k' находим k на mn.
197. Найти точку К, находящуюся внутри призмы на расстояниях: l1 — от грани BCEF, l2 — от грани ABDE, l3 — от основания AВС (рис. 183).
![Рис 182-183.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.182-183.png)
198. Найти точку К, находящуюся внутри пирамиды SABC на расстояниях: l1 — от грани SAC, l2 — от грани SBC, l3 — от грани SAB (рис. 184).
![Рис 185.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.185.png)
199*. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла ВАС (рис. 185, а).
Решение. Искомым геометрическим местом является плоскость, проходящая через биссектрису данного угла перпендикулярно к его плоскости (рис. 185, б). Следовательно, искомая плоскость будет определяться этой биссектрисой и пересекающим ее перпендикуляром к плоскости угла ВАС.
Для проведения биссектрисы угла ВАС приходится построить его натуральный вид, так как непосредственное проведение биссектрисы в заданных проекциях угла возможно лишь в особых случаях, например при одинаковом наклоне сторон угла к плоскости проекций. На рис. 185, в показано совмещение плоскости угла ВАС с пл. H, для чего построен горизонт. след (1—2) этой плоскости.Теперь может быть проведейа биссектриса угла 1А02 — прямая А0М0 — и построены ее проекции am и a'm'.
Остается провести перпендикуляр к плоскости угла ВАС через какую-либо точку его биссектрисы и этим определить искомую плоскость. На рис. 185, г перпендикуляр проведен через вершину угла—точку А, для чего использован горизонт. след 1—2 и проведена фронталь 2—4; проекция перпендикуляра an ⊥ 1—2 и проекция а'n' ⊥ 2'4'.
200. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла ВАС (рис. 186). Искомую плоскость задать следами.
![Рис 186.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.186.png)
201*. На прямой EF (EF || пл. V) найти точку, равноудаленную от сторон угла ВАС (рис. 187, а).
Решение. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла ВАС, является плоскость Р, проходящая через биссектрису этого угла и перпендикулярная к его плоскости (рис.187,б). Очевидно, Искомая точка (К) на прямой EF получится при пересечении этойй с пл. P.
![Рис 187.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.187.png)
Построение пл. Р на рис. 187, в аналогично построению на рис. 185, а, с той лишь разницей, что на рис. 187, в угол. ВАС совмещен с пл. V вращением вокруг фронт. следа 1'2' плоскости этого угла. Для построения проекций перпендикуляра AM рспользован след 1'2' и горизонталь А—3: a'm' ⊥ 1'2' и am ⊥ a3
Точка К на прямой EF найдена обычным способом построения точки пересечения прямой с плоскостью (рис. 187, г);
1) через EF проведена вспомогательная пл. Т (так как прямая EF||пл. V, то окзалось возможным провести через нее фронтальную плоскость T),
2) построена прямая пересечения пл. P (заданной прямыми AM и AN) с пл. Т (это фронталь плоскости P — прямая с проекциями 5'6', 5—6),
3) найдена точка пересечения этой фронтали с прямой EF — точка К.
![Рис 187.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.187b.png)
202. На стороне АВ основания пирамиды SABC (рис. 188) найти трчку К, равноудаленную от ребер SA и SC.
203. На ребре SC пирамиды SABC (см. рис. 188) найти точку M, равноудаленную от ребра SA и стороны АВ основания.
204*. Найти геометрическое место точек, равноудаленных, от пл. Р и пл. Q (рис. 189, а).
Решение. Искомым геометрическим местом является (рис. 189, б) пл. R, делящая пополам двугранный угол, образованный данными плоскостями. Пл. R проходит через ребро двугранного угла, т. е. через прямую MN. Если ребро MN расположить перпендикулярно к какой-либо пл. проекций Т, то каждая из плоскостей P и Q, а также и пл. R изобразятся на этой плоскости проекций в виде прямых, как это показано на рис. 189, б, причем Rt делит угол между Pt и Qt пополам.
Построив (рис. 189, в) прямую MN пересечения плоскостей P и Q, вводим (рис. 18В, г) дополнительные плоскости S (S ⊥ H и S||MN) и Т(T ⊥ S и Т ⊥ МN). Угол между построенными прямыми mtPxt и mtQxt равен углу между плоскостями P и Q, а биссектриса этого угла mtRxt представляет собою след искомой пл. R на дополнительной пл. Т. Относя точку Rx к прямой Рx Qx, т. е, к оси V/H, находим проекцию Rxs на PxsQxs и Rx на РxOx, т. е. на оси V/H. В точке Rx следы искомой плоскости пересекают ось V/Н, а так как пл. R проходит через прямую МN, то след Rϑ проходит через точку n', а след Rh — через m.
205. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от пл. Р и плоскости, заданной прямыми АВ и CD (рис.
206*. Найти на прямой АВ точку, равноудаленную от плоскостей, заданных треугольниками MNC и MND (рис. 191, а).
![Рис 188-189.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.188-189.png)
![Рис 190-191.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.190-191.png)
Решение. Искомой точкой является точка пересечения прямой АВ с плоскостью (R), делящей угол между данными плоскостями пополам (рис. 191, б).
Ход построения аналогичен примененному в задаче 204. Путем введения дополнительных пл. проекций S и Т получаем положение, при котором ребро MN проецируется на пл. Т в точку (рис. 191, а).
В этом положении изображаем плоскость, делящую пополам угол между гранями MNC и MND, в виде прямой Rt. В пересечении прямой atbt c Rt получим проекцию искомой точки К на пл. Т; по ней находим ks, на asbs, а затем k на ab и k' на а'b'.
207. На ребре SB пирамиды SABC найти точку К, равноудаленную от грани SAС и основания ABC (см. рис. 188).
208. На стороне АВ основания ABC пирамиды SABC найти точку М, равноудаленную от граней SAC и SBC (см. рис. 188).
209*. Через точку А провести прямую общего положения, расположенную под углом α к пл. Н и под углом β к пл. V (рис. 192, а).
Решение. Известно (см. задачу 22), что для прямой общего положения α + β < 90°.
На рис. 192, бив показано построение искомой прямой с применением способа вращения. На этих рисунках изображены две прямые: одна (AB1) расположена
![Рис 192.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.192.png)
параллельно пл. V и другая (AВ2) — параллельно пл. Н. На обеих прямых отложены равные отрезки АВ1 и AB2: a'b'1 = ab2.
Если теперь повернуть отрезок AВ1 вокруг оси, перпендикулярной к пл. Н, a отрезок АВ2— вокруг оси, перпендикулярной к пл. V, причем обе оси вращения проходят через точку А, то в некоторый момент оба этих отрезка совпадут (на рис. 192, б это показано в виде отрезка АВ), и, следовательно, искомая прямая окажется построенной.
Всего можно провести через точку А четыре прямые. На чертеже (рис. 192, в) проводим дугу окружности радиуса ab1 до пересечения в точке b с прямой, проходящей через точку b2 параллельно оси х. По точке b находим b'.
На рис. 192, в показано еще одно (из четырех возможных) положение прямой, обозначенное АВ3.
240. Через точку А провести вправо от нее прямую общего положения АВ, расположенную под углом α к пл. Р и под углом β к пл. V (рис. 193), при условии, что точка В расположена в пл. H и ближе к пл. V, чем точка А.
![Рис 193-194.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.193-194.png)
211. Через точку А провести вправо от нее отрезки АВ, AC, AD и АЕ, расположенные под углом α к пл. H и под углом β к пл.- V (вис. 194).
212*. Провести через точку А плоскость, составляющую с пл. H угол α1 и с пл. V угол β1 (рис. 195, а).
![Рис 195.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.195.png)
Решение. Для построения искомой плоскости в данном случае использована зависимость между углами, составляемыми некоторой прямой с пл. Н (у гол α) и с пл. V (угол β), и углами, составляемыми плоскостью, перпендикулярной к этой прямой, с теми же плоскостями проекций Н (угол α1) и V (угол β1). Известно, что α1 + α = 90°
(рис. 195, б) и β1 + β = 90°. Отсюда следует, что 180° > α1 + β > 90°. Это позволяет проверить правильность задания углов α1 и β1 (рис. 195, о)β.
Итак, определив утлы α = 90° — α1 и β = 90° — β1 проводим через точку А прямую под углами α и β соответственно к пл. H и пл. V (рис. 195, в), как это имело место в задаче 209. Теперь через точку А проводим плоскость, перпендикулярную к построенной прямой АВ. Эта плоскость на рис. 195, г выражена горизонталью ифронталыо: a'd' ⊥ a'b', ас ⊥ аb.
![Рис 195.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.195b.png)
213. Провести через точку А две плоскости (выразив их следами) под углами α1 к пл. Н и β1 к пл. V (рис. 196), построив вспомогательные прямые под углами α = 90° — α1 к пл. H и β = 90° — β1 пл. V — одну вправо, вглубь, вниз, от точки А, другую — вправо, вглубь, вверх.
214* . Построить правильную треугольную пирамиду с вершийой в точке S. Высота пирамиды наклонена к пл. Н под углом α и к пл. V под углом β. Точка А — одна из вершин основания (рис 197, а).
Решение. Проводим (рис. 197, б) через точку S прямую SM под заданными углами α и β к пл. H и пл. V (см. задачу 209). Плоскость основания пирамиды должна пройти через точку А перпендикулярно к SM; задаем эту плоскость горизонталью AN й фронталью АК (рис. 197, в). Находим точку О пересечения прямой SM с плоскостью основания. Для этого заключаем SM в фронтально-проецирующую
![Рис 197.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.197.png)
![Рис 197b.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.197b.png)
пл. R, изображенную только фронт. следом Rϑ. Для построения вершин В я С пирамиды поворачиваем плоскость основания вокруг горизонтали А—3 до совмещения ее с пл. T (рис. 197, г).
В плоскости основания через точку О проводим произвольную прямую 3—4. Строим совмещенное с пл. T положение точки 4 |41| и соединяем 41 с точкой 3. На прямой 3—41 находим точку O1, из которой радиусом О1 проводим окружность. Разделив ее на три части, находим вершины b1 и с1. Зная b1 и c1 находим (рис. 197, д) горизонт. проекци: с— на продолжении прямой а—5 (найдя сначала точку 5 по 5,), b — на прямой а—6 (найдя сначала точку 6 по 61). Затем строим прямые а'5' и а'6' и на них точки с'и b'; а'b'с' и abc — проекции основания пирамиды. На рис. 197, е проекции—вершин s' и s соединены с одноименными с ними проекциями вершин основания.
215. Построить правильную четырехугольную пирамиду с вершиной в точке S. Высота пирамиды наклонена к пл.H под углом α и к пл. V под углом β. Точка А — одна из вершин основания (рис. 198).
![Рис 198-199.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.198-199.png)
216*. Построить куб с основанием на плоскости, расположенной под углом α1 к пл. Н и углом β1 к пл. V. Отрезок а'b'— фронт. проекция стороны основания куба (рис. 199, а).
![Рис 199.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.199.png)
Решение. Строим произвольную прямую MS (рис. 199, б), расположенную под углом α = 90° — α1 к пл. H и β = 90° — β1, к пл. V.
Эта прямая дает нам направление боковых ребер куба. Теперь проводим через точку А пл. Р (рис. 199, в), перпеидакулярную к этой прямой, и находим в пл. Р точку В. Совмещаем пл. Р и лежащий в ней отрезок АВ с пл. H (рис. 199, г) и достраиваем квадрат A0B0C0D0. Затем поднимаем точки D0 и С0 в пространство: точку D0 с помощью прямой 1020 и точку С0 с помощью совмещенной фронтали 30С0.
Так как ребра куба перпендикулярны к основанию, то через точку А проводим (рис. 199, д) прямую, перпендикулярную к пл. Р (а'4' ⊥ Рϑ и a ⊥ 4 ⊥ Ph). На этой прямой откладываем отрезок АЕ, равный стороне основания, хотя бы А0В0. Это сделано при помощи построения прямоугольного треугольника. Получив таким образом проекции а'е' и ае, строим (рис. 199, е) проекции куба.
217. Пстроить прямую треугольную призму с основанием в виде равнобедренного треугольника ABC на плоскости, расположенной под
![Рис 200.Смешанные задачи с применением способов преобразования чертежа](/common/img/pic.200.png)
углом α1 к пл.H и углом β1 к пл. V. Вершина С треугольника ABC лежит на пл. Н. Высота призмы равна стороне AВ основания — треугольника ABC (рис. 200).