Параллельность прямой и плоскости и двух плоскостей

92*. Через точку А провести какую-либо прямую, параллельную плоскости треугольника BCD (рис. 90, а).

Решение. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому через точку А можно провести неопределенное число прямых, параллельных данной плоскости. Например, проведя (рис. 90, б)

через точку а' прямую e'f' параллельно b'd' и через а прямую ef параллельно bd, мы получаем проекции прямой EF, параллельной стороне треугольника BD, а следовательно, и его плоскости. Выбор прямой BD был произволен.

93*. Через точку А провести какую-либо прямую, параллельную пл. Р (рис. 91, а).

Решение. Строим (рис. 91,6) проекции mn и m'n' некоторой прямой MN, лежащей в пл. Р. Затем через а' проводим фронт. проекцию b'с' параллельно m'n',

а через а горизонт. проекцию bc параллельно mn. Прямая ВС параллельна прямой MN, а следовательно, и плоскости Р.

94*. Определить, параллельна ли прямая АВ плоскости Р (рис. 92, а).

Решение. Для определения, параллельна ли прямая АВ пл. Р, надо попытаться провести в этой плоскости прямую, параллельную данной. На рис. 92, б проведена фронт. проекция c'd' параллельно а'b'. Строим горизонт. проекцию cd.

соблюдая условие, что прямая CD должна лежать в пл. Р. Так как построенная проекция cd оказалась не параллельной ab, то прямые AВ и CD не параллельны а это значит, что прямая АВ и пл. Р также не параллельны.

Можно было начать с проведения горизонт. проекции некоторой прямой параллельно ab, построить ее фронт. проекцию, придерживаясь условия, что эта прямая должна лежать в пл. Р, и сопоставить построенную фронт. проекцию с а'b'.

95. Определить, параллельна ли прямая АВ

а) плоскости, заданной двумя параллельными прямыми CD и EF (рис. 93, а),

б) плоскости Р (рис. 93, б),

в) плоскости Q (рис. 93, в).

96*. Провести через точку А плоскость параллельно плоскости, заданной точками В, С и D (рис. 94, а).

Решение. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной из них соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 94, б).

Для построения искомой плоскости проводим в заданной плоскости две пересекающиеся прямые BD и CD (рис. 94, б и в). Затем через а' проводим а'f' параллельно b'd' и а'е' параллельно с'd', а через а проводим af параллельно bd и ае параллельно cd Прямые АР и АЕ параллельны прямым BD и CD, следовательно, параллельны между собой и определяемые ими плоскости.

97*. Через точку А (рис. 95, а) провести плоскость параллельно пл. Р.

Решение. Как известно, горизонтали параллельных плоскостей параллельны между собой, параллельны между собой и фронтали. Также одноименные следы параллельных плоскостей соответственно параллельны между собой (рис. 95, б).

На рис. 95, а задаем искомую плоскость двумя прямыми горизонталью АС и фронталью АВ, для чего через а' проводим а'b' параллельно P_ϑ и а'с' параллельно оси х, а через точку а проводим ас параллельно Р_h и аb параллельно оси х. Так как след Р_ϑ есть одна из фронталей пл. Р, а след Р_h — одна из ее горизонталей, то получаем параллельность горизонталей и параллельность фронталей одной и другой плоскостей, т. е. параллельность этих плоскостей. На рис. 95, г показано построение для искомой плоскости ее следов Q_ϑ и Q_h. Для их построения проводим через точку А горизонталь искомой плоскости параллельно следу P_h и находим фронт. след N(n,n') этой горизонтали. Теперь через n' проводим Q_ϑ || P_ϑ находим точку Q_x на оси x и проводим след Q_h параллельно Р_h

98. Через точку А (рис. 96) провести плоскость, параллельную плоскости, заданной параллельными прямыми CD и EF; выразить искомую плоскость двумя пересекающимися прямыми.

99. Через точку А (рис. 97) провести плоскость параллельно пл. Р; выразить искомую плоскость ее следами.

100. Через точку А (рис. 98) провести плоскость параллельно пл. Р. Дать ответы: а) выразить пл. горизонталью н фронталью, б) следами.

101. Определить, параллельны ли плоскости, из которых одна задана параллельными прямыми АВ и CD, а другая — пересекающимися прямыми EF и EG (рис. 99).